分层各向异性晶体中波传播的辛分析理论与数值方法研究

高效高精度和具有良好性态的数值分析方法是分层各向异性晶体波传播问题中的关键问题。本项研究在吸取国际先进理论方法的基础上，特别注意立足于我们自己创立的独具特色的优秀研究成果，如哈密顿系统的辛几何理论、精细积分法、扩展W-W算法和保辛算法，以期在这一重要领域建立自己的理论方法和技术优势。其最有特色之处是综合运用和发展近年来由申请人及其所属研究团队所发展的辛几何理论和一系列计算力学研究成果，从而实现：(1) 在哈密顿体系下建立起分层各向异性晶体中波传播问题的辛几何理论；(2) 基于混合变量和两端边值精细积分法，建立稳定性好、精度高的传递矩阵计算方法，并在此基础上联合应用精细积分法和扩展Wittric-Williams算法，建立起求解分层各向异性晶体中表面波的精确高效算法；(3) 在上述辛几何理论和数值方法的基础上，进一步建立周期分层各向异性晶体能带分析的高精度保辛算法。

分层各向异性晶体中的波动现象具有很多独特的声学和光学性质，如具有特殊的能带结构，分层半无限晶体中可以产生表面波。为了充分理解分层各向异性晶体中波动的性质和现象，本项目基于哈密顿系统的辛数学理论、精细积分法、扩展W-W算法和保辛算法，开展分层各向异性晶体波传播的基本理论和高效高精度数值算法研究。主要研究内容包括：(1) 将分层各向异性晶体波传播问题从传统的单变量的拉格朗日求解体系变换到基于对偶变量的哈密顿求解体系，得到复数哈密顿矩阵本征值问题，根据此本征值问题的代数结构研究其辛几何性质与波动物理现象之间的联系。(2) 基于混合变量和精细积分法，并联合扩展Wittric-Williams算法，建立求解分层各向异性晶体表面波频散特性的精确高效算法，给出表面波本征解的分布性质，确保无遗漏精确求解。(3) 在上述辛几何理论和数值方法的基础上，进一步建立了周期分层周期结构的能带分析和时域分析的高精度保辛算法。本项目提出了一种求解微分Riccati方程的改进的精细积分方法，可以稳定高效率的求解分层各向异性晶体波传播问题导出的Riccati方程，为在辛体系下分析分层各向异性晶体波传播问题奠定了方法基础；建立了半无穷分层介质表面波、一维离散含杂质周期结构、半无穷周期结构和含杂质半无穷周期结构的本征方程，并结合精细积分方法和扩展W-W算法，提出了一种求解表面波本征值问题的精确、稳定和高效算法；提出了一种周期结构时域动力分析的高效率高精度积分方法，效率比常用的Newmark和R-K方法显著提高。