代数的形式光滑性研究

This project is a crossed field of homological algebras, noncommutative algebras and noncommutative algebraic geometry. We will investigate the formal smoothness of algebras in the point of view of the representation theory of algebras. Based on the discussion of module-relative -Hochschild cohomology, we study the relations between the formal smoothness of algebras and derived equivalences, between the formal smoothness of and recollements of module categories of algebras, between the formal smoothness and recollements of derived categories of algebras, respectively. Moreover, we try to construct new formally smooth algebra according to a given formally smooth algebra. With the development of the formal smoothness of algebras, we promote a few relevant developments in the fields of homological algebras, noncommutative algebras and noncommutative algebraic geometry, which has important scientific significance and research values.

本项目为同调代数与非交换代数、非交换代数几何的交叉领域。拟从代数表示论的角度来研究代数的形式光滑性问题。根据模-相对Hochschild上同调对代数的形式光滑性的同调刻划，通过对模-相对Hochschild上同调的探讨，研究代数的导出等价、代数的模范畴的recollement以及代数的导出范畴的recollement，它们分别与代数的形式光滑性之间的内在联系；通过形式光滑双模对形式光滑代数的刻划，利用形式光滑代数构造新的形式光滑代数。在发展代数的形式光滑性理论的同时，促进同调代数、非交换代数、非交换代数几何等相关领域的发展，具有重要的科学意义及研究价值。

本项目研究了代数的同调性质，并利用代数间的同调性质研究代数的形式光滑性问题。运用组合方法，研究了二项式三角代数的Hochschild上同调及Fibonacci代数的Hochschild上同调的Gerstenhaber代数结构；考虑了Temperley-Lieb代数的Hochschild上同调，以及Hochschild上同调环的cup积，并进一步探讨了Temperley-Lieb代数以及表示有限q-Schur代数的Hochschild上同调环的乘法结构问题；研究了量子外代数的Z2-Galois覆盖的Hochschild同调与上同调以及循环同调问题；研究了上三角幂零矩阵在上三角矩阵变换下的相似典范形问题，探讨了不可分解矩阵中所含参数的个数问题；研究了广义矩阵代数的交换化线性映射对问题；探讨了三角矩阵代数与其子代数的模-相对Hochschild(上)同调及形式光滑性问题；研究了各种等价下代数的模-相对Hochschild(上)同调及形式光滑性之间的关系。这些研究对代数光滑性问题的研究具有重要的理论意义，对今后代数的形式光滑性更深入的研究提供了理论基础。