顶点算子代数的扩张，整形式及模顶点算子代数

This is a proposal on the extensions of vertex operator algebras, the integral forms of vertex operator algebras, modular vertex operator algebras and its relations with modular Lie algebras. The proposal consists of four major parts: (1) Study the extensions of vertex operator algebras. Establish a well known conjecture in the field: Any simple extension of a rational vertex operator algebra is also rational. (2) Investigate the integral forms of vertex operator algebras. Prove that any rational vertex operator algebra has an integral form. (3) Establish the structure and representation theory for modular vertex operator algebra theory. The highest weight modules, the relation between twisted modules and modular vertex operator algebras and how to use the integral forms to construct modular vertex operator algebras will be studied. (4) Investigate the relation between modular vertex operator algebras and modular Lie algebras. These are the basic problems in the field. The results will greatly help the development of vertex operator algebra theory and its connections with modular Lie algebras, provide new ideas and methods for the relatively isolated research field of modular Lie algebras.

本课题研究顶点算子代数的扩张与整形式, 模顶点算子代数，以及模顶点算子代数与模李代数之间的关系。主要内容有四个方面：（1）研究顶点算子代数的扩张，拟证明大家熟知的猜想：任何有理顶点算子代数的单扩张都是有理的；（2）研究顶点算子代数的整形式，拟建立任何有理顶点算子代数都有整形式；（3）研究模顶点算子代数的结果与表示理论，其中包括最高权模理论，扭模及顶点算子代数的关系，如何利用整形式来构造模顶点算子代数；（4）研究模顶点算子代数与模李代数间的关系。本课题所研究的问题是顶点算子代数研究中的基本问题。其研究成果将极大促进顶点算子代数和模李代数的发展和交叉，为较为孤立的模李代数的研究提供新的想法和方法。

本课题研究了parafermion 顶点算子代数，模顶点算子代数及其表示，顶点算子代数的整形式及模框架顶点算子代数，有理orbifold theroy 的迹函数。主要结果有下面四个方面：1）Paraformion顶点算子代数的研究。由affine顶点算子代数所确定的Paraformion顶点算子代数是在数学和物理中非常重要的一类顶点算子代数，但其有理性和不可约模的分类是一个长期未能解决的问题，我们彻底的解决了这个问题，并确定了fusion rule。这些结果产生了一类新的有理顶点算子代数，这对有理顶点算子代数的分类有着十分重要的意义；2）模顶点算子代数的表示理论。目前顶点算子代数的研究集中在复数域上的理论，有限特征域上的顶点算子代数的研究非常贫乏。我们证明了由c=1/2的Virasoro 代数的最高权模所确定的顶点算子代数是有理的，并分类了不可约模，计算了fusion rule。这是在模顶点算子代数中最好的结果。3）研究了框架模顶点算子代数，证明了他们的有理性，构造了复数域上框架顶点算子代数的整形式，这样从任何复数域上的一个框架顶点算子代数可得到任何域上的框架顶点算子代数；4）系统的研究了有理orbifold theory。对不可约模进行了分类，建立了其对应的迹函数都是某个同一子群上的模形式，解决了本领域的一个公开问题。