含随机连接的网络化系统基本特性分析

Controllability, observability and stability analyzes are fundamental issues in systems and control theory. To networked systems like gene regulation networks, power systems, cyber-physical networks, that extensively exist in the world, when influence strengths among subsystems are stochastic, or signal transmissions among subsystems can be randomly interrupted, these issues are world-widely recognized to be extremely difficult. Their settlement depends on the resolution of more than 3 open problems in systems and control theory. This project will investigate these problems for a large scale networked system utilizing susbsystem state space models and sparsity shared by most of large scale systems, on the basis of graph theory and the theory of random matrices. Controller design will also be attacked. This investigation includes derivations of the joint probability density function (PDF) for the singular values of the system state transition matrix, the PDF for its maximum singular value, the joint PDF for the eigenvalues of the system controllability/observability Gramian matrices, as well as the PDF for their minimal eigenvalues. It also includes developments of computationally feasible conditions for the controllability/observability/stability of a large scale networked system with probability 1, as well as computationally feasible conditions on input/output variable selection for guaranteeing system controllability/observability with probability 1. The results will be helpful in understanding mechanisms of a complex system including balance in an ecosystem, the generation process of a cancer cell, etc., as well as improving efficiency and security of human made systems like a power network, a water distribution system, etc.

能控/能观性分析、稳定性判断等是系统与控制理论中的基本问题。对诸如基因调控网络、电力系统、物联网等大规模网络化系统而言，当子系统间的作用具有随机性时，这些问题依然是世界性的难题。它们涉及系统与控制理论中3个以上的公开问题(open problem)。本项目从子系统状态空间模型和连接矩阵出发，基于图论和随机矩阵分析等数学方法，利用大规模系统的稀疏性等特点，研究具有随机连接的大规模网络化系统的能控性/能观性/稳定性判据，并进而探讨控制器设计。研究内容包括状态转移阵奇异值的联合概率密度函数及最大奇异值的概率密度函数，能控/能观格拉姆阵特征值的联合概率密度函数及最小特征值的概率密度函数，系统依概率1能控/能观/稳定的条件，以及为保障系统依概率1能控/能观的输入/输出变量优化选择方法等。研究结果对理解复杂系统工作机理和复杂疾病形成过程并确定治疗方案、改善电力系统的运行效率和安全性等，将产生积极作用。

现实世界中，大量系统通过子系统间相互连接/作用实现其功能。典型对象包括电力系统、基因调控网络、物联网、生态系统等。本项目围绕能控/能观性、因果性/脉冲模态存否性、结构可辨识性判断等基本问题，利用图论和矩阵多项式方程组解结构等数学工具，探讨线性网络化系统中，子系统动态和连接对整体系统性能的影响；以及为达成整体系统性能，子系统动态和连接所需满足的要求。..取得的主要结果如下。..1. 证明了可构造可控/可观网络化系统的充要条件是每个子系统可控/可观。此条件进一步要求子系统输入/输出个数不小于其状态转移阵的最大几何重复度。以子系统矩阵依一般化线性分式变换依赖于其基本参数为前提，推导出关联矩阵依仿射形式依赖于子系统基本参数和连接系数的、网络化系统可控/可观的秩判据。证明其可控/可观性为通用性质。在子系统连接系数代数独立时，给出其结构可控/可观的二分图判据。证明了一般情形下，其结构可控/可观性判断为 NP-困难。..2. 在子系统动态特性由奇异系统描述时，推导出为保证整体系统因果性/不存在脉冲模态，子系统参数及连接系数接所需满足的充要条件。证明局部静态输出反馈有助于构造因果网络化系统，但对构造不存在脉冲模态的网络化系统一般帮助不大。..3. 在子系统内部/外部输入到外部/内部输出的传递函数阵正规列/行满秩的前提下，证明连接系数的全局可辨识性。在连接系数代数独立时，得到基于图论的全局可辨识充要条件。针对几类典型结构受约束网络化系统，得到其未知参数全局可辨识的充要条件，给出不可区分集合的显式代数刻画。建立整体系统矩阵与子系统连接矩阵间的解析关系，给出独立依赖于每个子系统参数的、子系统连接系数的可重构充要条件。阐明研究可辨识度等的重要性，发现稳定裕度低的网络化系统更易于辨识。提出一种网络化系统可辨识度的量化指标，推导出其基于实验数据的解析表达式。..上述结论为探讨网络化系统的传感器/执行机构配置、信息安全/攻击检测等课题奠定了基础，部分结论为 Automatica 综述性论文等引用。