变分方法与非线性偏微分方程前沿问题

We try to use variational methods and topological methods to consider the following important problems: 1. Variational problems arising from Bose-Einstein Consendates and nonlinear Kerr-like photofractive media, study existence of solutions for Schrodinger equations or systems, properties of solutions, structure of bifurcation with multiple parameters; 2. Free boundary problems and varitional problems from limit system of competing systems; 3. Morse theory of weakly smooth functional and in Banach space and study quasilinear elliptic equations, develop Morse theory in Banach spaces; 4. Develop new minimax theory and study Fucik spectrum; 5. Existence of solutions and multiple sulotions of nonlocal Kirchhoff-type elliptic equations or systems, and the corresponding eigenvalue problems. This project is the front of nonlinear analysis in the world, the research of this field is strong in China, it is an active direction in nonlinear analysis, it has deep background of physics,geometry and biology, therefore it is important and valuable to study. The theory and application of nonlinear analysis will be pushed greatly once these problems are solved.

本项目拟应用现代非线性分析的变分方法和拓扑方法等多种工具研究以下重要问题: 1.Bose-Einstein凝聚态和非线性光学中的变分问题，Schr?dinger 方程(组)解的存在性、性质，多参数分歧结构； 2.自由边界问题和生物种群竞争极限系统中的变分问题; 3. 弱光滑泛函的 Morse理论与拟线性椭圆方程,发展新的Banach空间Morse理论;4.极大极小理论进一步发展和 Fucik 谱; 5.Kirchhoff-type 非局部问题多解、变号解存在性，相应的特征值问题. 本项目是当前国际上的前沿课题, 是我国数学研究的强项之一, 是非线性分析领域中十分活跃的方向,具有深刻的物理、几何、生物学背景，因而具有重要的理论意义和研究价值，这些问题的解决将极大的推进非线性分析理论与应用的发展。

本项目应用现代非线性分析的变分方法和拓扑方法等多种工具研究以下重要问题: 1.Bose-Einstein 凝聚态和非线性光学中的变分问题，Schrodinger 方程(组)解的存在性、性质及谱结构； 2.自由边界问题和生物种群竞争极限系统中的变分问题; 3. 弱光滑泛函的 Morse 理论与拟线性椭圆方程,发展新的Banach 空间Morse 理论;4.极大极小理论进一步发展和 Fucik 谱;5.Kirchhoff-type 非局部问题多解、变号解存在性，相应的特征值问题. 本项目是当前国际上的前沿课题, 是我国数学研究的强项之一, 是非线性分析领域中十分活跃的方向,具有深刻的物理、几何、生物学背景，因而具有重要的理论意义和研究价值，这些问题的解决将极大的推进非线性分析理论与应用的发展。. 重要的结果包括：发现一种新的更一般形式的同调环绕，这种环绕本质上利用了Nehari流形的结构, Benci-Rabinowitz广义鞍点方法只能得到一个环绕结构，而我们的方法在理论上可以提供多个环绕结构。更重要的是用同调论我们可以区分得到的临界点，因此这一方法为寻求多解提供了新途径。利用这种一般形式的环绕、Laplace算子相邻本征值(记重数)的缝隙以及超线性增长性质之间的关系我们获得了第四个非平凡解。利用偶泛函的指标理论与极小极大原理，并结合Galerkin逼近方法，获得高维波方程无穷多个径向对称周期解存在性结果;率先利用分歧理论、变分方法研究了来自光学和凝聚态物理理论的带有线性和非线性耦合的非线性薛定谔方程组获得解的存在性、参数依赖性。