变分理论与非线性偏微分方程若干前沿问题研究

We try to develope and use variational methods and topological methods to study the following important problems: 1.Nonlinear Schrödinger systems (with multiple solutions) arising from Bose-Einstein Consendates and nonlinear Kerr-like photofractive media, studying existence of solutions for Schrödinger systems,number of solutions, properties of solutions, structure of bifurcation with multiple parameters, especially for the Schrodinger systems with linear and nonlinear couplings; 2. Free boundary problems and solutions to optimal partion problems involving Laplacian eigenvalues and p-Laplacian eigenvalues etc.; 3. Existence and number of periodic solutions to wave equations in high dimensions; 4. Existence of solutions, multiple sulotions and properties of Monge-Ampere equations and nonlocal Kirchhoff-type elliptic equations or systems. This project has deep background of physics, geometry and biology, it is the difficult front of nonlinear mathematics in the world. It is an active direction in nonlinear analysis, therefore it is very important in theory and has academical values. The theory and application of nonlinear analysis will be pushed greatly once these problems are solved.

本项目拟发展、应用变分方法和拓扑方法等多种理论研究以下重要问题: 1. 来自Bose-Einstein凝聚态和光学的多个方程构成的非线性Schrödinger 方程组解的存在性、个数估计、对称性等性质，多参数分歧结构，特别是带有线性和非线性耦合项的Schrödinger方程组的解的存在性、性质、解集结构；2. 自由边界问题与拉普拉斯算子及p-Laplace 算子等特征值有关的最优分割问题; 3. 高维波动方程周期解的存在性、个数估计; 4. 具有几何背景的Monge-Ampere方程和具有物理背景的Kirchhoff-type 方程解的存在性、多解性、性质。本项目具有深刻的物理、几何、生物学背景，是国际非线性数学的前沿困难课题, 是非线性分析中十分活跃的研究方向, 具有重要的理论意义和学术价值，上述问题的解决将极大地推进非线性分析理论与应用的发展。

本项目发展应用变分方法和拓扑方法等多种理论研究了以下重要问题: 1. 研究 Schrödinger方程（组）的正规解(normalized solution)，获得Chern-Simons-Schrodinger方程的正规化解存在性定理、分数阶Schrödinger方程的正规解存在性定理; 2.研究Hénon-Lane-Emden猜想及相关Schrödinger方程（组），证明重要的3维空间中Hénon-Lane-Emden猜想，并获得多重调和系统的Hénon-Lane-Emden猜想的一些结果; 3. 研究来自Bose-Einstein凝聚态和光学的多个方程构成的非线性Schrödinger方程组解的存在性、个数估计、对称性等性质，多参数分歧结构，特别是带有线性和非线性耦合项的Schrödinger方程组的解的存在性、性质、解集结构；研究自由边界问题与Laplace算子等特征值有关的最优分割问题;研究Klein-Gordon波动方程组周期解的存在性、个数估计; 4.研究困难的非局部问题包括临界增长的Schrodinger-Poisson-Slater方程、分数阶Schrödinger方程、具有物理背景的Kirchhoff-type方程解的存在性、多解性、性质。在J. Functional Analysis，Calc. Var. Partial Differential Equations，JDE，Sci. China Math.，Proc. Roy. Soc. Edinburgh, Z. Angew. Math. Phys. 等著名国际刊物发表论文26 篇（SCI）。作为研究生教材合著《拓扑与变分方法及应用》2021年4月由科学出版社出版。科研成果被大量引用，有的已成为基本参考文献，在研究领域起着引领作用. 这些成果具有重要的学术价值，大大促进了非线性分析理论和应用的发展。