变分方法与非线性偏微分方程中若干问题的研究

In this program, we consider some classes of nonlinear partial differential equations. Using critical point theory, we study the existence and multiplicty of positive and sign-changing solutions, the existence of least energy solutions. For example, Schrodinger-KdV systems, Maxwell-Dirac systems and Klein-Gordon-Dirac systems. These problems not only have important significance in variational and topological methods for differential equations, but also have realistic significance in geometry and physics. We also consider a class of equations with exponential nonliearity from Chern-Simons-Higgs theory. Using asymptotic analysis and topological methods, we study the existence and multiplicity of solutions(for example, blowing-up solutions). These problems are crucial for us in the understanding of subcritcal, critical and supercrical elliptic equations.

本项目将以几类非线性偏微分方程和方程组为研究对象, 利用临界点理论, 研究正解, 变号解的存在性和多重性, 极小能量解的存在性等问题，例如:Schrodinger-KdV方程组, Maxwell-Dirac方程组和Klein-Gordon-Dirac方程组。 这些不仅在微分方程的变分和拓扑方法中有重要意义, 同时, 在几何, 物理中也有现实的应用价值。我们还考虑Chern-Simons-Higgs理论中出现的一类具有指数非线性项的方程, 利用渐近分析技巧和拓扑方法, 研究解(比如爆破解)的存在性和多重性问题。通过对这类变分方法很棘手的问题的研究, 对我们理解次临界和临界甚至超临界的椭圆方程至关重要。

非局部变分问题在近些年来受到广泛关注，本项目研究了分数阶Nirenberg问题和分数阶Schrodinger方程，利用有限维约化，无穷远临界点理论，变分方法等非线性分析工具得到了这两个问题解的存在性，多重性和集中性等结果，为这两个问题应用在计算机视觉，量子力学等领域的研究中提供了理论基础。