随机动力系统指数吸引子的存在性及其应用研究

The project aims to do some research into the stability of stochastic difference equation. In nature world,there are a large number of stochastic differential equations emergence in physics, mechanics,biology, finance and other related fields, such as the atmospheric and oceanic circulation problem, risk investment, stock price fluctuation and so on. These problems can be described by stochastic differential equations.Stability is a prominent property of any natural movement, without which any system would be out of order.. The solution of a nonautonomous stochastic difference equation generate a process (nonautonomous random infinite dimension dynamical system) with parameters. The main task of this project is to study the long time behavior of the solution to nonautomous random infinite dimension dynamical system. There is no doubt that the existence of random pullback attractor is a fundmental means. Random pullback attractor is a compact, invariant and arrtacting set which is incapable of representing attracting rate and its geometric structure, while random pullback exponential attractor hits off this fault. By structuring the random pullback exponential attractor, we attempt to find the sufficient condition for the existence of random pullback exponential attractor and applied the theoretical results to different stochastic differential equations.

本项目主要研究随机微分方程的稳定性。在自然界中，随机微分方程大量出现于物理、力学、金融、生物等相关领域，例如大气海洋的环流问题、风险投资、股票价格的波动等均有相应的随机微分方程描述。稳定性是自然界运动的主要特征，没有稳定性，任何系统都将没有秩序。. 一个非自治的随机微分方程，它的解生成一簇带有参数的过程（非自治的随机无穷维动力系统）。本项目的主要工作是研究非自治的随机无穷维动力系统解的长时间行为。随机拉回吸引子的存在性无疑是研究非自治随机动力系统最重要的工具之一。随机拉回吸引子是紧的、不变的吸引集，不能精确刻画吸引速度及其几何结构，随机拉回指数吸引子克服了这一缺点。我们通过构造随机拉回指数吸引子，找出随机拉回指数吸引子存在的充分条件，试图将理论研究结果应用到不同类型的随机微分方程。

对随机无穷维动力系统，建立了随机D-拉回吸引子的存在性定理，给出了验证随机D-拉回吸引子存在的判定方法，对具有多项式增长的随机反应扩散方程，建立了随机拉回吸引子的存在性定理。作为理论的广泛应用，研究了一维和二维的随机Swift-Hohenberg方程，证明了随机D-拉回吸引子的存在性，对无界域上的反应扩散方程，证明了指数吸引子的存在性，对双层斜压准地转模型方程，建立了全局吸引子的存在性，对三维二次对称系统，研究了系统的可积性和极限环的存在性和分歧问题，证明了平均曲率算子在Minkowski空间多解的存在性，对时滞合作系统，研究了行波解的存在性，对几类非线性微分方程，证明了方程解的存在性。