算子理论中的几何方法研究

数学家M.Cowen与R.Douglas通过对一类重要算子（现称为Cowen-Douglas算子）的研究,将几何化的思想引入了算子理论,开创了算子理论与微分几何交叉研究的新领域。我们将从约化子空间这一算子理论的经典课题切入,结合全纯Hermitian向量丛上深入的联络理论,研究Cowen-Douglas算子及其相关算子代数的结构和性质,进而在具体的解析函数空间上研究乘法算子的约化子空间问题。 Hilbert模是现代多元算子论的基本框架,其中具有基本重要性的拟自由Hilbert模,是实现Cowen-Douglas理论的理想平台。我们将对拟自由Hilbert模的一类重要子模所对应的商模展开研究,通过寻找良好的几何不变量,给出这类商模的完整分类。本项目将进一步揭示微分几何与算子论的内在联系,同时展示几何方法在具体的算子理论问题中的作用。

在本项目资助下，课题负责人按照项目计划，对Cowen-Douglas算子的几何理论，拟自由Hilbert模的商模分类，向量值函数空间不变子空间的纤维维数等课题进行了深入研究。主要研究成果包括：基于全纯Hermitian向量丛的联络理论，以约化子空间为切入点建立了多联通区域上平坦酉丛与Cowen-Douglas向量丛的几何对偶关系，并从算子换位的角度给出了Holonomy群的表示；在一般的多变量再生核Hilbert空间上研究了坐标乘法算子组的缠绕问题，利用从正则化再生核给出了非平凡缠绕算子存在性的充要条件; 对一般的有限秩拟自由Hilbert模，利用几何不变量给出了一类商模的酉等价分类，推广了Douglas与Misra在秩为1的特殊情况下得到的结果；在具有完全Nevanlinna-Pick核的向量值函数空间上，给出了乘子不变子空间纤维维数的统一处理方法并用以处理了图子空间，胞腔不可分解性质，可加性等重要问题。