Grassmannian研究中的算子谱理论方法

In different branches of mathematics, subjects in the studying of Grassmannians are different. Traditional methods are based on differential geometry, algebraic topology and algebra. In the project，the Grassmannian is as a set of closed subspaces of a Hilbert space. We also consider subjects as a set of orthogonal projections on closed subspaces of a Hilbert space in the studying of Grassmannians since there exists an one to one corresponding between the set of all closed subspaces in a Hilbert space and the set of orthogonal projections on closed subspaces of a Hilbert space. The project will be divided into three levels. First, based on operator theory and operator algebra and by new perspective of block operator matrix technique, spectral theory of operators and solving operator equation, geometry and spectral constructions of pairs of orthogonal projections and closely related operators will be deeply studied and block operator matrix representations of operators involved in studying will be given. For example, general explicit expressions direct rotations of two orthogonal projections will be obtained. Second, in view of the first step, some special Grassmannian will be discussed. For example, by means of that spectral characterizations and operator matrix representations of Sato- Grassmannian, spectral characterizations and operator matrix representations of Hopf-Rinow theorem concerning geodesic will be got. Third, comparing the traditional research methods with new idea used in this project， new directions and new problems in the studying of operator theory, operator algebra and Grassmannian will be explored and discovered in the further.

在数学不同分支中，Grassmannian的研究对象各有不同。传统的研究方法多基于微分几何、代数拓扑和抽象代数。在本项目中，Grassmannian具体的研究对象是Hilbert 空间中的闭子空间，或正交射影集合。我们将以算子论和算子代数为基础，以算子分块矩阵技巧，算子谱理论和解算子方程这一全新的视角为切入点，对正交算子对和与之密切相关的多个算子之间的几何结构，谱结构进行深入研究，给出所涉及到的算子的分块算子矩阵具体表示。在此基础上对一些受限的Grassmannian进行不同角度的研究。例如，借助于算子分块矩阵，分别给出Sato-Grassmannian和射影对的交织算子的完全刻画。进而，在梳理Grassmannian的传统研究方法和本项目提供的新思路对接中，进一步探索算子论和算子代数，以及Grassmannian研究的新方向和新问题。

项目执行期间，课题组各位成员分工互助又通力合作，在多个各自不同又有密切联系的研究方向上，根据具体的研究内容不断发展Grassmannian理论研究中的算子谱理论方法，取得了较丰富的研究成果。共发表论文29篇，完成了预期的研究目标。具体研究成果分为四个方面:. 一、关于Grassmannian理论的研究方面。给出了两个正交投影的交织算子和直旋转的显式刻画；建立了广义对称协方差、广义对称方差以及广义对称相关系数的概念，讨论了它们之间的关系；刻画了反交换子PQ+QP的性质。. 二、在一般算子理论的研究方面。研究了与Hua-型算子矩阵相关的结果；讨论了正压缩算子Jordan积的谱，乘积的谱和数值域；定义了迹类算子全体之间的完全有界线性映射构成的矩阵序*向量空间并讨论了其性质；讨论了两种不同完全正线性映射的延拓性及其与通常的完全正映射之间的联系；给出了紧的正规算子是极小范数时的性质和等价刻画；研究了三类从矩阵空间Mn到自身的保持矩阵自伴性的映射。. 三、有关算子理论在量子信息中的应用的研究方面。讨论了有关先验模型的互文广义鲁棒性；通过量子信道的Kraus算子，提出了对角量子信道的概念，证明了对角量子信道的一些性质，给出了构造对角量子信道的码空间的一种方法；讨论了有关EPR导引的问题；在描述物理思想的基础上，提出了三体量子态不可导引与可导引的数学定义，给出了量子态不可导引的充要条件及充分条件。. 四、有关李双代数的研究方面。利用结构映射和相容性条件给出了李2-双代数的一个等价定义；利用结构映射和相容性条件给出了李2-双代数的一个等价定义；得到了在渐进双曲流形、渐进欧式流形和渐进多圆柱流形上的拟微分算子的Fredholm条件；计算并讨论了所定义李双代数的Atiyah class. . 后续研究中，我们将进一步深刻地研究相关内容，并深入已有结论。