等参理论各种应用

Recently, isoparametric theory is a very active field in geometry and topology of submanifolds, which has development potentials. In this program, we will focus on isoparametric theory and its various applications. First, we will study the interactions between isoparametric theory and differential topology, particularly, for the case of low dimensional manifolds. Furthermore, we will be concerned with the double soul conjecture in low dimensional case. Meanwhile, we will try to prove topological rigidity and finiteness results in isoparametric theory. Second, will study the relationships between the collapsing theory with lower curvature bound and singular Riemannian foliations (especially isoparametric foliations). Third, related geometric problems from isoparametric theory of unit spheres will be considered. For instance, we will study the sectional curvature properties of double manifolds constructed from isoparametric hypersurfaces, and also the inverse problem of the Cheeger-Gromoll soul theorem. Based on the isoparametric families of OT-FKM type, we will try to construct nonrotational closed immersed hypersurfaces with constant scalar curvature in Euclidean spaces.

近年来，等参理论是子流形几何与拓扑中非常活跃和具有潜力的研究方向。本项目将致力于研究等参理论以及各种应用。第一，我们将研究等参理论和微分拓扑的联系。特别是对于低维流形的情形，进而研讨低维情形的双灵魂猜想。同时，我们将探讨与等参理论有关的拓扑刚性和有限性结果。第二，我们将研究截面曲率有下界的塌缩现象与奇异黎曼叶状结构(特别是等参叶状结构)的关系。第三，我们将研究与单位球面中等参超曲面相关的几何问题。例如，我们将探讨由等参超曲面构造的double流形的截面曲率性质，以及相关的Cheeger-Gromoll灵魂定理的逆问题。利用OT-FKM型等参族，我们希望构造欧氏空间中具有常数量曲率的闭浸入非旋转超曲面。

本项目在等参叶状结构及其应用方面做出了系统的和深入的研究。主要研究内容包括：单位球面中等参超曲面的焦流形生成的极小锥；陈省身猜想；焦流形与法数量曲率不等式；怪球面的几何与拓扑；等参叶状结构与塌缩理论(主要包括单位球面中等参超曲面和焦流形的拓扑以及曲率的研究)；I. M. James问题；具有特殊几何性质的超曲面的边值问题和对称性。主要研究结果包括：证明了单位球面中等参超曲面的焦流形生成的极小锥(除个别情形外)是面积最小的；将de Almeida-Brito定理完全推广到了任意维数，为陈省身猜想的正确性提供了信心；研究了单位球面中等参超曲面的焦流形的法数量曲率的上下界；构造了一个8维流形和其上的以Gromoll-Meyer怪球面作为非奇异叶子的transnormal系统，并深入地研究了相关的内在和外在几何性质；研究了等参超曲面和焦流形的同伦、同胚和微分同胚型，确定了OT-FKM型等参超曲面和焦流形的Lusternik-Schnirelmann范畴、可平行化性与部分焦流形M+的特征映射，以及研究了等参超曲面和焦流形的截面曲率和Ricci曲率；部分地解决了James在1958年提出的两个基本问题；证明了对于给定欧氏空间中具有特殊几何性质(如极小，常平均曲率等)的超曲面，若边界具有群作用不变性，且切触角具有相同的不变性时，则超曲面的内部也满足相应的不变性。