DDVV猜想和等参超曲面理论的推广及其应用

子流形几何是微分几何的重要部分，而等参超曲面理论是子流形几何中一个生机勃勃的研究领域。 近年来，虽然子流形几何中著名的DDVV猜想已被我们彻底解决，由于它和众多学科领域间的密切联系及重要作用，关于DDVV猜想的各种版本的推广及其应用却仍广受关注。另一方面，球面中等参超曲面理论也不断出现突破性进展和重要应用，极大地促进了人们的研究热情和兴趣。本项目将在已有优势研究基础上，以DDVV猜想和等参超曲面理论的推广及其应用为主要研究方向继续进行深入研究。我们计划研究：DDVV不等式各种版本的推广及应用问题；满足DDVV不等式等号条件子流形的分类问题；球面中等参超曲面的分类问题及相关理论应用；一般黎曼流形中的等参超曲面理论及应用。

本项目研究了子流形几何中的DDVV猜想和等参超曲面理论的推广及其应用。项目成果目前已被《Advances in Math.》、《J. Reine Angew. Math.》、《J.Math.Soc.Japan》等著名数学杂志接受发表了7篇SCI论文和1篇ALM丛书的综述文章，另有3篇已标注基金的预印本。. DDVV猜想是1999年由四个几何学家共同提出的，它断言实空间形式中子流形的数量曲率、法数量曲率、平均曲率之间存在一个最佳点点不等式，已于2007年被我们（J.Q. Ge & Z.Z. Tang）和Z. Lu分别独立证明。这个几何不等式等价于一个代数上的关于对称矩阵的不等式，Z. Lu证明了它对子流形几何中的Simons不等式具有很好的应用。本项目的一个重要成果 [1]是将此不等式推广到与其“对偶”的反称矩阵版本，并应用于黎曼浸没几何证得Simons型不等式。. 等参理论源自上个世纪30年代数学大师E. Cartan对实空间形式中常主曲率超曲面的研究。对单位球面中等参超曲面的分类问题, 也收录在丘成桐教授的公开问题集里，吸引了许多几何拓扑学家的关注和研究，至今已几乎被完全解决。本项目致力于研究黎曼流形中的等参超曲面或函数及其推广和应用，获得了一系列有意义的研究成果。特别地，我们[2]在7维Gromoll-Meyer怪球上构造了仅有两个临界点的transnormal函数（比等参弱）,证明了4维“怪球”上不存在transnormal函数。我们[3]引进了黎曼流形中的k-等参超曲面，并给出对称空间中的一些分类和刚性结果；对（全）等参超曲面对应的焦流形，我们[5]证明了它们的极小或austere等性质。另外，我们[4]定义并分类了欧氏空间中的完备各向异性等参超曲面。. 与DDVV不等式相关，我们[6]研究了子流形高阶平均曲率的变分问题。与等参理论相关,项目还研究了equifocal超曲面[7]，并应邀撰写了关于陈猜想和等参理论的综述文章[8]。