丘成桐第一特征值猜想和等参超曲面理论的推广及应用

Submanifold geometry is an important part of differentical geometry, while isoparametric hypersurface theory is a vibrant research area in submanifold geometry. In 2007, 2008 and 2012, three breakthrough articles on the classification of isoparametric hypersurfaces in unit spheres were published on the international leading journal 《Ann.of Math.》, which raises the enthusiasm on isoparametric theory again. On the other hand, we proved the isoparametric case of the very famous Yau conjecture on the first eigenvalue, but a complete proof is still far away. Because of its close contact with and important role in many fields, study of Yau conjecture attracts widespread attentions. Based on our advantages, this program aims at a complete proof of Yau conjecture and the generalizations and applications of the isoparametric hypersurface theory. We plan to study: Yau conjecture on the first eigenvalue and related eigenvalue problems; the classification of isoparametric hypersurfaces in the unit sphere and the related application of this theory; isoparametric hypersurface theory in general Riemannian manifolds and its applications.

子流形几何是微分几何的重要部分，而等参超曲面理论是子流形几何中一个生机勃勃的研究领域。2007,2008和2012年发表在国际顶尖杂志《Ann.of Math.》上的三篇关于球面中等参超曲面的分类的突破性进展的文章，再次引起了几何界研究等参超曲面的热情。另一方面，虽然微分几何中著名的丘成桐第一特征值猜想的等参情形已经被我们彻底解决，但是离彻底解决还差很大距离，并且由于其深刻的几何意义，以及它与众多学科领域间的密切联系及重要作用，使得丘成桐第一特征值猜想的研究受到广泛关注。本项目将在已有优势研究基础上，以丘成桐第一特征值猜想的证明和等参超曲面理论的推广及其应用为主要方向继续进行深入研究。我们计划研究：丘成桐第一特征值猜想及相关特征值问题；球面中等参超曲面的分类问题及相关理论应用；一般黎曼流形中的等参超曲面理论及应用。

本项目研究了子流形几何中的丘成桐第一特征值猜想及相关特征值问题和等参超曲面理论的推广及应用。项目成果目前已被《Advances in Math.》,《J. Funct. Anal.》，《Sci. China Math.》,《Math. Z.》著名数学杂志接受发表了5篇SCI论文和1篇特邀会议论文。另有一篇已标注的预印本。.. 丘成桐第一特征值猜想是1982年由国际一流数学家丘成桐提出的，他断言单位球面中的闭的极小嵌入超曲面的第一特征值一定等于其维数。该猜想的等参情形已被唐梓洲和彦文娇（《J.Diff.Geom.》）证明，并且提出了推广的丘成桐第一特征值猜想。本项目的一个重要成果[1]是将其超曲面的结果推广至g=6的情形，并通过计算遗留的焦流形的第一特征值，进一步验证推广的丘成桐猜想中的维数条件的精确性。.. 我们知道 g=4 的等参超曲面的焦流形都是单位球面的极小Willmore 子流形，在所有情形中只有两个是Einstein 流形（Ricci 曲率为常数）。一个自然而然的问题就是，这些焦流形都是Ricci 平行的吗？本项目的重要成果[2]，[3]证明了g=4，6 的等参超曲面的焦流形都是 A-流形，但大多都不是 Ricci平行的。并利用g=4,重数为(3,4k) 等参超曲面的焦流形，给出Besse 在他们著名的《Einstein Manifolds》一书中提到的“挑战性”的公开问题的一系列单连通的例子。.. 作为单位球面中的等参理论的另一个推广，本项目的另一个研究方向为一般黎曼流形中的等参超曲面理论。一般黎曼流形上的等参超曲面是指一族常平均曲率的平行超曲面。本项目研究成果[4]在（n+1)-维的一般黎曼流形上开创了k-等参超曲面的概念（k=0,1,…,n），给出了从常平均曲率到常主曲率的一个量化工具。.. 作为等参理论的一个应用，本项目的成果[5]利用在单位球面的 g=4 的极小等参超曲面上构造了三个特征函数，其临界点个数不随特征值增长而增长，从而给出丘成桐公开问题集中的第 76 个问题的反例。