yamabe流和相关问题

One of the central problems in modern differential geometry is the existence of canonical metrics on a given manifold. We use heat flow method called the Yamabe flow to study the existence of metrics with constant scalar curvatures. The goal is to deform a given metric to a metric with constant scalar curvature via an apriori estimate and blowup analysis. We mainly concern with the Yamabe flows (on complete noncompact Riemannian manifolds) and related problems, such as the gap theorems. It is relatively few results about the Yamabe flow on noncompact manifolds. We have studied this flow in 1998 and we have developed the maximum principle method (or The Bernstein method). In this project, we also consider the Hamilton conjecture that the yamabe flow on a compact manifold converges to a metric with constant scalar curvature. Related geometric evolution equations will be studied.

现代微分几何中的中心问题之一就是给定流形上典型度量的存在性问题。我们利用热流方法称为yamabe流方法来研究流形上常数曲率度量的存在性问题；其目的就是用先验估计和爆破分析手法把一个度量用这个热流形变成常数曲率度量。我们主要研究(完备非紧流形上的)yamabe流和相关问题，比如空隙定理；对于非紧的黎曼流形，yamabe流问题的研究相对比较少；在1998年我们研究了这个流并利用和发展了极值原理方法（或bernstein型估计方法）。 在本项目里，我们也研究Hamilton做出的如下猜想：对于一个维数大于2的紧的黎曼流形，对于任何初始度量的yamabe流，它在时间无穷处是收敛到一个常数曲率的度量。相关其他几何演化方程也会考虑。

我们研究了渐近平坦流形上的Yamabe 流整体存在定理以及这个结果的应用, 我们的证明用到了Yamabe常数的性质并证明了在数曲率非负的情况下，这个整体流是收敛到一个具有平凡数曲率度量。在非负数曲率和L2 Sobolev不等式成立的条件下，我们得到了yamabe流的整体存在性， 并利用这个结果我们给出了这种流形带有零数曲率完备度量；从而部分的解决了Kazdan在1982年提出的问题。我们研究了W-泛函达到极小点问题以及数曲率条件与这个问题的关系；我们提出了研究了平移子平均曲率流问题，我们给出了这类问题的细致的理论分析。