分数阶Yamabe方程及其相关问题的研究

Our aim is to study the fractional Yamabe equation and its related topics: (1)Using critical point theory at infinity we study the fractional Yamabe problem, give a new proof of Gonzalez and Jie Qing's result, obtain the existence of positive solutions on Riemannian and CR manifolds. (2)We construct type II ancient solutions which are different from the contraction sphere solutions and King's solutions for the fractional Yamabe flow using Lyapunov-Schmidt reduction method. This reveals an essential difference between fractional Yamabe flow and two dimensional Ricci flow. (3)We prove the nondegeneracy of the ground state solutions for the fractional Choquard equation and the existence of multi-bump solutions.

本项目研究分数阶Yamabe方程及其相关问题：(1)研究黎曼流形和CR流形上的分数阶Yamabe问题，利用无穷远处临界点理论得到正解的存在性和多重性；(2)研究分数阶Yamabe流，利用Lyapunov-Schmidt约化方法构造其不同于收缩球解和King解的第II型古典解，揭示分数阶Yamabe流本质上不同于二维Ricci流的现象；(3)证明分数阶Choquard方程基态解的非退化性并研究多包解的存在性。

在本项目的支持下，我们围绕分数阶Yamabe方程及其相关问题，展开了以下研究：(a)考虑紧致黎曼流形上Schrodinger方程组，利用变分技巧证明了极小能量正解的存在性和多重性，同时利用Lyapunov-Schmidt约化方法证明synchronized型集中向量解的存在性。(b)证明了分数阶调和映射热流弱解的存在性，对自由边值条件的调和映射热流弱解的大范围存在性结果在一定程度上做了推广。(c)我们最近在从事以下两项研究工作：证明随机扰动情形下的调和映射热流在degree大于等于3时，解是长时间存在的，这是和degree等于1时完全不同的新现象；证明随机扰动情形下的Yang-Mills热流是长时间存在的，进一步可以刻画其在无穷时刻的渐近行为。