RICCI流的整体解和收敛性

The study of Ricci flow is one of mainstreams in Geometric analysis. Because of the outsanding works of G.Perelman and R.Hamilton,researchers have realized that, based on the knowledge of Riemannian geometry and PDE, people can know the topology of the manifolds via the study of the global behavior of Geometric flows auch as Ricci flow. The study of global Ricci flow is of fundamental importance.According to the blow-up analysis of Hamilton, the flow can be divided into three types.For type I flow,Perelman has made a remarkable contribution. According to Hamilton's conjecture, after a renomalization of the Ricci flow, the limit of the flow is a Ricci soliton. We shall study this conjecture, in particular, we shall study the type III Ricci flow on non-compact complete Riemannian manifolds. We shall further develop the Ricci flow theory by more refined study of Perelman's entropy functionals, reduced distance and volume, and Hamilton's Harnack type inequalities.We shall also study related geometric flows such as Yamabe flows.

Ricci流的研究是当今几何分析的主流方向.由于PERELMAN和HAMILTON在Ricci流问题上的杰出工作,人们认识到,通过研究流形上RICCI流的整体形态,也就是用黎曼几何和偏微分方程作为主要工具来研究几何流,可以搞清楚流形的拓扑.研究RICCI流的整体行为是一个基本问题.根据HAMILTON的爆破分析,RICCI流的整体行为分类成3种奇点.对于第一类奇点,PERELMAN做出了杰出的贡献.根据HAMILTON的猜想,经过合理重整化,RICCI流的可以收敛到RICCI孤立子.我们将进一步研究这个猜想,特别要研究非紧完备流形上的对应于第三类的RICCI流,改良PERELMAN的ENTROPY估计,约化距离和约化体积,和HAMILTON 的HARNACK估计来发展RICCI流理论.我们也将研究相关的几何流,比如YAMABE流问题.

我们研究了完备非紧的ricci流和yamabe流的整体存在性和收敛性。对于kaehler-Ricci流，在一个合理的条件下我们证明了hamilton猜想。也就是说，如果这个流在有限时间爆破，利用w-泛函和重整化，这个流可以收敛到一个稳态的ricci孤立子；这个极限的唯一性目前是开问题。对于R2上的ricci流， 如果初始度量有有限正宽度， 那么这个流是整体存在的而且收敛到平坦度量。利用yamabe流我们建立了新的空隙定理。我们还研究了4维ricci收缩子的Hitchin-Thorpe 不等式。美国数学评论文章对于上述结果给予好评。