单项式理想与Cohen-Macaulay性质

In this research item, we plan to study homological and combinatorial properties of some classes of constructed commutative rings. Starting from a simple graph (a hypergraph, a poset or a semilattice respectively), we construct new commutative rings with the aid of monomial ideals as well as their generalizations. We study the algebraic and combinatorial properties of the newly constructed rings, and the relationship between the properties. In particular, we study the properties of the related combinatorial ideals of rings, e.g., the minimal free resolution, the Betti number, the regular degree, the depth and the homological dimensions. We also study the face ring (i.e., Stanley-Reisner ring) and the edge ring, determined by some special class of abstrct simplicial complexes, including zero-divisor simplicial complexes. In particular, we study the Cohen-Macaulay properties, the strcture of monomial ideals and related subalgebras. Special attention will be paid to the further pursuit for deep understanding of shellability of either a graph or a simplicial complex, since it occupies a central position for understanding the Cohen-Mcaulayness of related monomial ideals.

本项目主要构造若干类型交换环，并研究它们的同调性质和组合性质。从简单图（即无重边、无环图）、超图、Poset 、半格等出发借助于单项式理想（以及推广）构造新的交换环类，并研究新交换环类的代数（同调）特性与组合特性及二者之间的联系与制约，研究有关组合理想（边理想等）的代数性质(如极小自由预解式、Betti 数、正则度、深度与同调维数等)。研究由有限抽象单纯复形和零因子单纯复形导出的面环（又叫Stanley-Reisner ring）、边环的代数特性（例如同调与几何不变量、Cohen-Macaulay 性、其单项式理想与子代数结构等）与组合特性(包括组合不变量)，以及这些性质与原环（或者原复形）性质或者结构之间的关系。特别是研究图（以及单纯复形）的shellability. 这一特性在以往涉及到相应单项式理想等Cohen-Macaulay性质的工作中占据着完全核心的主导地位。

单项式理想是域上多元多项式环S的由有限个单项式生成的理想I，确定其相应商环（或更确切地说，K-代数）S/I的代数性质和组合性质是本项目的主要研究目标。这些性质的核心是Cohen-Macaulay性质，在交换代数、同调代数、代数几何、代数表示理论中具有非常重要的应用背景。为了研究Cohen-Macaulay性质等，经常借助于图、偏序集、单形复形等组合或拓扑对象进行直接构造，研究组合或者拓扑性质对于代数性质的影响。在我们的工作中，系统研究了若干种代数性质（Borel-fixed, strongly stable, lexsegment, or universal lexsegment）在理想运算（closure，n'th sumbolic power, polarization等）之下的具体表现；完整刻画了由同次数的齐次单项式生成的f-理想，刻画了Unmixed pure f-理想，完全分类了2-齐次的f-理想和f-图，并证明了所有f-图均具有纯shellable性质，从而是Cohen-Macaulay的。我们系统整理和总结了前人在shellable性质方面的工作，提出了强shellable复形的概念----这类复形D使得其Facet 理想以及D的Alexander对偶复形的Stanley-Reisner理想均具有线性商，从而可以方便地归纳构造出这两个理想的极小FFR（finite free resolusion），并对于强shellable性质和edge-wise 强shellable性质进行了系统的研究。最近，我们又发现了Bool图具有良好的代数组合性质----例如我们证明了：Bool图都是Unmixed而且顶点可分解（vertex decomposable），因此具有Cohen-Macaulay性质；又证明了Bool图的补图也是顶点可分解的。此外，我们对于前一个项目的代数图也进行了整理研究，并获得很多好结果。. 截止到2016年12月中旬，课题组已经发表标注论文22篇，完成并投稿论文9篇。在此期间，在相关领域培养了喻厚义、叶萌、郭锦三名博士（三人都获得了天元基金资助；喻厚义和郭锦还得到国家自然科学基金青年基金的资助），还有三名博士在读，他们都在进行相关专题的研究。期间，组织课题组成员参加全国代数会等学术会议20余人次。举办小型会议一次。