有组合背景的单项式理想的研究

Combinatorial commutative algebra is a new subject which is an intersection of combinatorics and commutative algebra. Monomial ideals and algebras are among the simplest structures in commutative algebra and the main objects in combinatorial commutative algebra. This project will study the Castelnuovo-Mumford regularity of the edge ideal of the finite graph and the sets of associated primes, the projective dimension and the arithmetical rank of monomial ideals. We will assign to an arbitrary monomial ideal a square-free monomial ideal by polarization, and consider a square-free monomial ideal as a facet ideal of some simplicial complex by Stanley-Reisner theory. Also, we will use the theory of Gröbner basis and the computer algebra system, like CoCoA. etc. We wish to get the linear expression of the Castelnuovo-Mumford regularity of the powers of the edge ideal of the finite graph, characterize the conditions under which the square-free monomial ideal satisfy ascending chain and characterize the square-free monomial ideal whose projective dimension is equal to the arithmetical rank.

组合交换代数是组合学和交换代数学相结合的一门较新的学科。单项式理想和代数是交换代数中结构最简单的一种代数形式，是组合交换代数中的重要分支。本项目主要研究有限图的边理想的Castelnuovo-Mumford正则度、单项式理想的相伴素理想集、投射维数以及算术秩。本项目将运用极化的方法把一般的单项式理想转化成无平方的单项式理想，然后运用Stanley-Reisner理论，把无平方的单项式理想看作某个单纯复形的极大面理想。同时，本项目还将运用Gröbner基理论并借助CoCoA等计算工具研究单项式理想的幂。本项目的目标是求出有限图的边理想的幂的Castelnuovo-Mumford正则度的线性表达式，刻画满足升链条件以及满足投射维数与算术秩相等的无平方的单项式理想。

组合交换代数是组合学与交换代数学相结合的一门较新的学科。 单项式理想和代数是交换代数中结构最简单的一种代数形式，是组合交换代数中的重要分支。 以项目的研究目标为基础，本报告主要研究了某些单项式理想的Stanley深度、深度以及正则度。. 从1982年开始， Stanley猜想成为单项式理想理论中的一个热点问题。尽管Stanley猜想对于一般的单项式理想或对应的商环不一定成立，但对某些特殊的单项式理想或对应的商环还是可能成立的。图的边理想是一类重要的单项式理想。本报告定义了两种广义的路图和圈图，研究了它们的边理想。借助CoCoA软件，运用对多项式环中变量的个数做归纳法，深度引理，Stanley深度的不等式以及Stanley分解等方法证明了这两种广义的路图的边理想和圈图的边理想的幂以及对应的商环都满足Stanley猜想。并且对一些特殊的理想还给出了Stanley深度和深度的具体公式。同时，还得到了关于这些理想的极大高度、投射维数和算术秩的结论。. 正则度理论是交换代数中的一个重要分支。1982年，A.Ooishi用局部上同调模定义了分次模的正则度。模的相伴分次模和纤维锥是两个重要的分次模，一些学者研究了它们的正则度的上界。本报告运用数学归纳法，用表面序列的长度和某些局部上同调模的长度等刻画纤维锥的正则度的上界。. 单项式理想的正则度是单项式理想理论中的一个重要的研究分支。一些学者证明了图的边理想的幂的正则度有奇异线性性质。本报告运用CoCoA软件，归纳法，结合图本身的组合结构如诱导匹配数等研究了圈图的耳朵图，证明了其边理想的幂的正则度有线性性质，给出了其计算公式。同时，给出了有一个公共顶点的双圈图的边理想的幂的正则度的计算公式。