若干非线性发展方程行波解的研究

In this project, we will study the traveling wave solutions of some nonlinear evolution equations. Different from the planar traveling wave, we mainly consider nonplanar traveling wave, and the problems will be transfered to the corresponding PDE problems, but not ODE ones. The considered equations include nonlinear reaction diffusion equations and nonlinear Schrodinger equations (NLS). For the considered nonlinear reaction diffusion equations, singularity, degeneration, advection, delay and nonlocal term may occur. Thus, the solutions will have more rich properties of, and reflect the physical or biological background much better; For the NLS, we will study the asymptotic behavior of the nonplanar traveling waves, the vortex structure of traveling waves, the relation between the wave speed and the presence of the vortices, asymptotic stability, and how the traveling waves play a role in the dynamics of the NLS, etc. The problems considered in this project are all new problems recently. The investigation will both enrich and develop the mathematical theory, the approaches and techniques of partial differential equations, and provide high level analytic tools and important references for other subjects and practical problems.

在本项目中我们研究若干非线性发展方程非平面行波解的性质。与平面行波解不同，我们主要考虑的是非平面行波解，因而问题转化为相应的PDE问题，而非ODE问题。所考虑的方程包括非线性反应扩散方程和非线性薛定谔方程两种类型。研究的非线性扩散方程可能出现奇性和退化性、含非线性源和对流项、具时滞和非局部项等情形，这就使得解的性质会变得更加丰富，也能更好地反映模型特殊的物理或生物学背景；对于非线性薛定谔方程，我们将研究波速趋于零或趋于音速时非平面行波的渐近性质，非平面行波的涡旋结构以及波速与涡流的产生之间的内在关系，非平面行波的渐近稳定性和行波在非线性薛定谔方程动力学性质中所起的作用等。本项目所考虑的问题是近年来出现的新问题，对这些新问题的研究既能丰富和发展偏微分方程的数学理论、研究方法和研究技巧，又能为实际问题的研究提供有力的分析工具和重要的理论参考。

本项目所研究的非线性扩散方程可能出现奇性和退化性、含非线性源和对流项、具时滞和非局部项等情形,这就使得解的性质会变得更加丰富,也能更好地反映模型特殊的物理或生物学背景。我们在具时滞的退化扩散方程行波解的存在性和稳定性，具有退化扩散和时滞的种群动力学模型Sharp-振荡型行波解及其他行波解的完全分类，在周期剪切流中满足无穷远处锥条件的非平面行波解的存在性和稳定性，具有时滞的非单调反应扩散方程振荡行波解的全局稳定性，时滞非局部色散方程的振荡的非临界/临界行波的整体稳定性，具密度依赖的非线性扩散项的趋化模型解的整体存在性和解的一些传播性质等方面取得了一些研究成果。本项目所考虑的问题是近年来出现的新问题,对这些新问题的研究既能丰富和发展偏微分方程的数学理论、研究方法和研究技巧,又能为实际问题的研究提供有力的分析工具和重要的理论参考。