与∞-Laplacian相关的偏微分方程解的性质分析

与∞-Laplacian相关的偏微分方程解的性质分析是近年来非线性偏微分方程研究领域一个备受关注的新课题。∞-Laplacian是一类典型的椭圆算子，它在L^∞-变分问题中提出，作用如同通常Laplacian在L^2-变分问题中的作用，并且与其相关的偏微分方程同含通常Laplacian的偏微分方程既相区别，又有内在联系。本项目拟在已有成果的基础上进一步深入研究与∞-Laplacian相关的偏微分方程解的适定性、稳定性及渐近性质等。内容包括：(1)研究方程主部为一般化的∞-Laplacian的椭圆问题，并考虑已有工作很少论及的非齐次项为0阶非线性项的椭圆方程；(2)研究具Neumann边值的抛物问题及主部相比于规范化的∞-Laplacian具更强奇性的抛物方程，考虑由通常的Laplacian与∞-Laplacian相结合所引起扩散的抛物问题。相关研究既有实际应用的价值，又有理论上的重要意义。

本项目研究与∞-Laplacian相关的偏微分方程解的性质。所讨论的问题包括建立∞-Laplace方程边界blow-up解的渐近估计、考查梯度项对∞-Laplace方程解的存在性的影响，以及研究其他一些相关问题解的渐近性质等。首先讨论一个具加权非线性项的∞-Laplace方程，在非线性项正则变化和Γ-变化两种情形下分别建立了边界blow-up解的渐近估计。我们发现∞-Laplace与通常Laplace方程的边界blow-up解的性质截然不同。其次考虑具梯度项与非线性非齐次项的∞-Laplace方程的Dirichlet边值问题，探究解的存在性依赖于非齐次项、边值、区域，以及梯度项的关系。特别要指出的是梯度项会对解的存在性产生本质影响。最后我们还研究了其他一些相关问题，涉及临界指标，奇性解的渐近估计，以及Keller-Segel方程解的性态等。