两类出现于场论中的非线性偏微分方程解的存在性及相关性质

In this project we will study the existence of solutions and related properties of two class of nonlinear partial differential equations arising from field theories in physics. One of them is a class of wave equations with logarithmic nonlinearity originating from Q-ball model in the field theories in physics. The other is a class of system of self-dual non-Abelian Chern-Simons vortex equations related to quark confinement problem in the field theories in phsics, whose mathematical formulation is a system of second order elliptic equations with exponential nonlinearity and Dirac source terms. For the first problem, we maily focus on the investiagtion of the global existence and asymptotic behavior of solutions for the problem under the initial and boundary value conditions and initial value conditions in the three space dimension, respectively. For the second problem, we will establish the following results: 1)the existence of topological solution and its decay rate at infinity, 2)the existence of non-topological solution and its asymptotic behavior at infinity,3)the necessary and sufficient conditions for the existence of doubly periodic solutions. Since these two class of problems originate from the frontier of the filed theories in physics, it makes the studies on this project have strongly physical background. On the other hand, these two class of equations are of rich mathematical structures, which makes the studies on this project have great theoretical significance in mathematics.

本项目拟研究两类来源于物理场论中的非线性偏微分方程解的存在性和相关性质。一类是来源于物理场论Q球模型中带有对数型非线性项的波动方程，另一类是出现于物理场论中与夸克禁闭问题有关的自对偶非阿贝尔Chern-Simons涡旋(vortices)方程组，其数学表现形式为带有指数型非线性项和Dirac源项的二阶椭圆方程组。对前一类问题，重点研究三维空间中初边值问题和初值问题解的整体存在性及渐近性；对后一类问题，将建立：1）拓扑解的存在性及其在无穷远处的衰减速率估计，2）非拓扑解的存在性及其在无穷远处的渐近性，3）双周期解存在的充分必要条件。由于这两类问题均直接来源于物理场论的前沿，这使得该项目的研究富有强烈的物理背景；另外，这两类方程本身又具有丰富的数学结构，这又使得该项目的研究具有重要的数学理论价值。

本项目按照原计划研究了两类主要研究了两类来源于物理场论中的非线性偏微分方程解的存在性和相关性质。对来源于物理场论Q球（ball）模型中带有对数型非线性项的波动方程我们克服了对数非线性所带来的困难建立了整体解的存在和渐近性。对与自对偶非阿贝尔Chern-Simons 涡旋(vortices)方程组及相关问题，我们建立了一系列存在性理论并系统发展了处理这类问题的方法。我们通过研究一些推广形式的单个方程问题开始，建立了若干单推广形式的单个Chern-Simons方程拓扑解、非拓扑解以及双周期解的存在性理论，特别给出了准确刻画双周期解存在的条件。在此基础上，研究了2x2情形的Chern-Simons方程组。对一类带有味道(flavor)的Chern-Simons 方程组，我们建立了全平面上该问题拓扑解的存在性和衰减估计，发展了一种通过构造适当的辅助函数处理拓扑解衰减估计的技巧，改进了文献已有的方法。另外给出了双周期解存在的必要条件和充分条件。对一类一般形式的2x2非阿贝Chern-Simons方程组，建立了双周期涡旋解的存在性理论。文献中已有结果只是对SU(3)系统进行了研究，我们的主要贡献是对这类问题发展了一种抽象的方法，适用于一般的2x2非阿贝Chern-Simons系统。后续研究了nxn情形的方程组。对SU(N)情形的 Chern-Simons涡旋方程组，主要贡献是利用隐函数定理克服了我们求解约束时带来的困难，我们利用带有不等式形式的约束极小化方法建立该问题双周期解的存在性理论。基于我们已取得的结果，对最一般情形下的Chern-Simons涡旋方程组展开了研究，发展了利用拓扑度理论来解决我们在求解约束时遇到的耦合方程组的困难，建立了一般情况下双周期的存在性理论。这个方法给出了这类对nxn方程组一个统一的处理框架，完全解决了该系统在一般情况下双周期解的存在性理论。另外，对若干场论中的非阿贝尔涡旋模型，建立了整个平面上解的存在性以及解的渐近性质；对于双周期区域上解的存在性，给出了解显式地依赖于涡旋的数目，区域的大小和耦合系数的充分必要条件。我们通过解决这些问题所发展的理论方法将对相关问题的进一步研究提供了有价值的探索，圆满地完成了预定目标。