非线性数学期望及其在金融中的应用

Nonlinear mathematical expectation theory is one of the hot areas of research of the stochastic analysis and financial mathematics. g-expectation is a kind of nonlinear expectation, which was proposed by Professor Peng Shige via backward stochastic differential equations and can be regarded as a nonlinear extension and development of Kolmogorov probability theory and the classical mathematical expectation theory. The aims of this project are as follows: Study the weighted g-expectation theory derived by g-expectation thoroughly and systematically on the basis of stochastic analysis and classical probability, as well as explore the reasonable forms of the classic results in modern probability theory under the framework of the weighted g-expectation theory, which will develop the nonlineare xpectation theory. Study the existence and uniqueness of the integrable solution to backward stochastic differential equations, which will generalize the g-expectation theory under the square-integrable framework to the integrable case. Using g-expectation, investigate the multi-agent cooperative hedging problem of contingent claims，giving the optimal cooperative hedging strategy. At the same time, we will solve the utility maximization problem and prove existence of an optimal investment strategy in the continuous time and ambiguity model. We expect that we will make great progress and obtain a series of international and domestic advanced research results with some application background on these subjects.

非线性数学期望理论是随机分析与金融数学研究领域的前沿与热点问题之一，g-期望是我国著名数学家彭实戈院士通过倒向随机微分方程提出的一种非线性数学期望，是数学大师Kolmogorov 的现代概率论与数学期望理论的非线性推广与发展。本项目旨在以随机分析与现代概率论为基础，深入、系统地研究由g-期望衍生出来的加权g-期望理论，探索现代概率论中的经典结果在加权g-期望理论中的合理形式，发展非线性期望理论;研究倒向随机微分方程可积解的存在唯一性，将平方可积框架下的g-期望理论拓广到可积空间; 利用g-期望研究多投资者合作情况下未定权益的对冲问题，建立最优合作对冲策略，利用广义g-期望研究并建立连续时间、模糊模型下具有一般效用函数的投资者的最优投资策略。项目组预期在上述研究专题取得明显进展,得到一系列国际前沿、国内领先并具有一定应用背景的研究成果。

非线性数学期望与倒向随机微分方程理论是随机分析与金融数学研究领域的前沿与热点问题。g-期望是我国著名数学家彭实戈院士通过倒向随机微分方程提出的一种非线性数学期望。本项目主要研究非线性数学期望及相关的倒向随机微分方程理论及其应用，在非线性期望、倒向随机微分方程、拟凸风险统计与最优投资策略等方面取得了一些国际前沿研究成果，丰富和发展了非线性数学期望与倒向随机微分方程理论，项目组成员及指导的研究生第一作者发表SCI/SSCI论文23篇、北大中文核心期刊论文10篇。.在g-期望的基础上我们提出加权g-期望的概念，江龙-陈敏（2016）在一定条件下建立了基于加权g-期望的矩不等式、Jensen不等式与大数定律。田德建-江龙(2016)研究了次线性期望空间中不确定序问题，从次线性期望算子和概率测度族两个不同的角度分别考虑增凸序、增序、凸序等并给出其刻画。纪荣林-江龙-田德建(2015)研究了带有约束的非线性凸期望集的极小元问题，证明了含有所有线性期望的凸期望子集的极小元必是线性期望等结果。石学军-江龙在基本条件下得到了多维倒向随机微分方程生存性的充要条件，合理地给出了多维条件g-期望的定义并表明了多维g-期望研究的关键点。.范胜君 (2016, 2017) 在生成元g关于y连续、一般增长、单侧线性增长且关于z平方增长的一般条件下，得到了一维BSDE的有界解以及L1解的存在性、唯一性结果、比较定理等一系列结果；在生成元g关于y满足单侧的Osgood条件及一般增长条件、关于z满足一致Lipschitz条件及次线性增长条件下，得到了多维BSDE的L1解的存在唯一性结果。周清（2016）、申晓慧-江龙（2017）得到了时滞、超前倒向随机微分方程解的存在唯一性等结果。.田德建-江龙(2015)用非线性期望研究基于情景的共单调拟凸风险统计和分布不变的拟凸风险统计，建立了有限维空间下具有分布不变性的共单调拟凸风险度量的表示定理，得到了基于情景的共单调拟凸风险统计和分布不变的拟凸风险统计的表示定理。田德建-Tian (2016)研究完全市场中具有一般效用函数的投资者的最优投资策略与风险厌恶和模糊之间的关系问题，得到了风险厌恶和模糊厌恶共同影响最优投资策略，模糊下的 Arrow-Pratt 绝对风险厌恶系数越大，则投资到风险资产上的财富越少。