等离子体物理中非线性发展方程的数学理论研究

Nonlinear evolutionary equations in plasma physics provide many essential and challenging problems for PDEs, enriching the theory and connotation of PDEs, and therefore becomes the frontier of PDEs studies. This proposal plan to consider the following three problems, the well-posedness, long wavelength limit and stability of solitary waves. In particular, we plan to study (1) the long wavelength limit, the approximation of Euler-Poisson equations by KdV equations, (2) quasineutral limit for the Euler-Maxwell equation, and the initial and boundary layers thus triggered, (3) the well-posedness of the systems for dusty plasma, their global existence, long time behavior and decay, and (4) the stability or instability of solitary waves. These contents are rooted in physics, have strong applications, and are essential and important problems on edge in PDE point of view, with high scientific values and potential applications.

描述等离子体运动的非线性发展方程为偏微分方程领域提供了若干本质且极具挑战性的研究课题，极大地丰富了偏微分方程的理论和内涵，是目前偏微分方程研究的热点之一。针对这些方程组，本项目拟围绕方程的逼近理论、适定性以及孤立波的稳定性展开，重点研究：（1）方程的长波长、小振幅近似问题，探讨KdV等色散方程对Euler-Poisson等方程组的逼近，建立误差估计等；（2）拟中性逼近问题，探讨Euler-Maxwell等方程组在强磁场下的拟中性极限问题，并研究由此引发的关于初始层、边界层等问题；（3）在磁场下以及含尘埃的等离子体方程组的适定性问题，探讨方程组的整体存在性、大时间性态、衰减估计等问题；（4）孤立波的稳定性与不稳定性等问题。所研究内容均来源于实际物理问题，具有很强的应用背景，从偏微分方程领域来看也是十分本质和重要的一些前沿问题，且紧密联系应用科学，具有较强的科学价值和应用价值。

本项目主要研究等离子体运动中一些重要的非线性发展方程及相关模型的数学理论问题，特别关注这些模型的逼近理论、适定性以及稳定性等理论。经过四年的研究，本项目主要建立了：（1）Euler-Poisson方程、量子Euler-Poisson方程的长波长极限，得到了余项方程误差的一致估计；（2）建立了Navier-Stokes-Poisson方程、Navier-Stokes-Maxwell等方程组的拟中性极限问题，并讨论了相应的初始层问题；（3）建立了等离子体中一些重要的方程组，如量子流体力学方程组、MHD方程组、带磁场的Schrodinger方程组以及Zakharov方程组等的整体存在性以及长时间渐近行为；（4）、建立了Ginzburg-Landau方程以及准地转方程在退化随机噪声扰动下的遍历性以及大偏差理论；（5）讨论了Euler-Poissin方程的稳定性等。这些结果的取得较好的完成了项目申请书提出的问题，必将为后续的深入研究提供必要的前期研究基础。这些结果目前已经在Arch. Ration. Mech. Anal., SIAM J. Math. Anal., J. Diff. Equations, Qauart. Appl. Math., Kinet. Related Models，Anal. Appl., Z. Angew. Math. Phys.等主流学术期刊上公开发表。