数学物理中非线性Schrodinger方程的孤立波理论研究

非线性Schrodinger方程作为量子力学的一个基础数学模型，其孤立波解是方程的一类稳定的、能量有限的不弥散解。孤立波理论在非线性光学、经典场论、量子论等领域均有广泛的应用背景。本项目将以具有应用背景的非线性Schrodinger方程（组）作为研究对象，通过构造合适的变分问题研究方程的孤立波理论，并进一步论证方程解的全局存在性和爆破性；通过计算机手段，构造合适的离散格式从数值计算的角度验证孤立波的相关性质，帮助物理工作者进一步认识物理规律。另外本项目还将在带有任意正初始能量的非线性 Schrodinger方程解爆破理论方面开展探索性研究工作，进一步完善非线性Schrodinger方程的数学理论。本项目的研究对完善非线性Schrodinger方程理论、深入认识物理现象和内在规律，为物理工作者的应用研究提供理论依据方面，都具有十分重要的意义。

本课题主要利用变分方法研究数学物理中的Schrodinger方程。首先针对带有广义势的Hartree方程、Schrodinger-Poisson方程、Hartree-Fock方程（N-body Hartree方程），在一定假设的前提下研究了方程孤立波的性质，论证了方程孤立波解的存在性，并证明了方程孤立波的强不稳定性。对于带有广义势的Hartree方程，我们还得到了其古典极限的相关性质。还有我们还研究了一类高阶波方程，并给出了对于任意正初始能量方程解的局部爆破的一个充分条件，就我们所知我们是第一个得到对于任意正初始能量的波方程解爆破的充分条件结论。最后，借助于Maple数值工具我们利用指数函数法初步开展了带有调和势的Schrodinger方程的精确解。