等离子体及铁磁材料中两类偏微分方程的研究

This project aims at studying some important partial differential equations arising in plasma and ferromagnets, which provide several important mathematical models as well as challenging problems. This project aims to establish: (1) Modulational approximations for the Euler-Poisson equations, (2) global existence of small solutions for the electronic Euler-Poisson equation with quantum effect, (3) global weak solutions and their partial regularities for the Landau-Lifshitz-Maxwll equation with spin polarized transport, and (4) KdV long wavelength limit for the Landau-Lifshitz-Maxwell equations. These problems are all of physics importance, and some of them have been already observed or justified in physical theories. In this project, we will combine techniques in PDEs, energy estimates, PsDO estimates, harmonic analysis techniques to solve the above problems. The results in this project will not only enrich the already existing PDE theory, but also will provide some theoretic basis for applied scientific branches.

描述等离子体运动以及铁磁材料中磁化向量运动的非线性发展方程为偏微分方程理论研究提供了若干本质且极具挑战性的研究课题，是目前偏微分方程研究的热点领域之一。本项目重点研究并预期建立：（1）欧拉泊松方程的调制逼近理论；（2）三维带量子效应的电子欧拉泊松方程小初值整体解的存在性理论；（3）带自旋极化输运的Landau-Lifshitz-Maxwell方程的整体弱解及其部分正则性理论；（4）Landau-Lifshitz-Maxwell方程的KdV长波长极限理论。这些问题均来源于实际物理问题，有些已经在物理上观测到或经过物理理论的证实。本项目将结合经典的偏微分方程理论，并综合应用能量估计、拟微分算子估计、调和分析等技巧和方法系统地分析和解决上述问题。这些问题的解决一方面能丰富已有的偏微分方程理论，另一方面也能为物理或相应学科提供一定的理论依据，具有较强的科学价值和应用价值。

本项目旨在研究描述等离子体运动以及铁磁材料中磁化向量运动的两类非线性发展方程的数学理论。本项目建立了（1）欧拉泊松方程到非线性薛定谔方程（NLS）的调制近似极限，从数学上严格地证明了当振幅（小参数）趋于零时，欧拉方程的光滑解收敛到NLS方程的解，并给出了收敛阶的估计；（2）具有位势力的磁流体力学方程组的最优衰减速率以及考虑Hall效应的磁流体力学方程组的最优衰减速率，得到了最优的估计结果；在有界区域情形，建立了可压缩量子流体动力学模型的整体光滑解；（3）欧拉泊松方程及其相关模型的长波长极限以及其它小参数极限等问题，讨论了欧拉泊松方程在临界情形下到mKdV方程的推导，并给出了严格的数学理论证明；建立了 Navier-Stokes-Poisson-Korteweg方程组在半空间情形的一些小参数极限，并讨论了相应的边界层等问题；（4）描述铁磁体材料磁化现象的Landau-Lifshitz-Maxwell方程组及其相关模型的整体解、部分正则性以及长波长极限等问题，利用伽辽金方法等建立了该方程组的Cauchy问题的整体弱解；并建立了在不含有Maxwell方程组时的部分正则性；（5）一些流体力学模型的剪切流及流体静力学平衡解的稳定性。具体地，本项目首先建立了一类三维Boussinesq-MHD方程组的轴对称整体光滑解，以及在不考虑轴对称情形时的具有非线性耗散的Boussinesq-MHD方程组的整体光滑解，给出了二维Navier-Stokes方程组在Couette流附近的剪切流的稳定性，并给出了阈值估计；证明了具有部分耗散的Boussinesq-MHD方程组的流体静力学平衡解的稳定性。本项目所采用的一些证明方法和估计技巧对其他问题也许有一定的参考作用。受本项目资助，共计在Comm. Math. Phys.等顶级期刊发表SCI论文20余篇。