模糊Domain中的一些范畴之间的对偶等价

In classical domain theory, there are many pairs of dually equivalent categoryies, for example: (1) The Isbell adjoint functors between the category of locales (the opposite of the category of frames) and the category of topological spaces can deduce the dual equivalence between the category of Sober spaces and the caetgory of frames. (2) The category of all posets and all monotone maps with left adjonts and the category of all posets and all monotone maps right adjoints are dually equivalent. (3) The category of algebraic domains is dually equivalent to the category of posets. (4) The category of completely distributive lattices is dually equivalent to the category of domains (i.e., continuous dcpos). In some sense, quantitative domains can be considered as a kind of fuzzifications of classical domains. It is very interested and important to investigate the (dual) equivalence between certain categories. The first dual equvalence listed above has been studied by fuzzy approach in our published papers. The aim of this project is to continuous to study the other three duall equivalence in quantitative domains. By these work, we can know the essence of the correponding categories. And it is interested and important for applications of fuzzy-set approach to quantitative domains in theoretical computer science.

在经典Domain理论中存在着许多对偶等价范畴，如：（1）Locale范畴和拓扑空间范畴之间的Isbell伴随函子可以导出Sober空间范畴和空间式Frame范畴之间的对偶等价性；（2）所有偏序集和所有具有左伴随（相应地，右伴随）的保序映射构成的两个范畴对偶等价;（3）代数Domain范畴和偏序集范畴对偶等价；（4）完全分配格范畴和Domain范畴对偶等价。量化Domain可以看作经典Domain的模糊形式，其中一些范畴间的对偶等价性是一个非常有意义的课题。上述第一组范畴的对偶等价性在量化Domain中的对应我们已用模糊集的方法完成并发表，本项目拟继续研究上述另外三组范畴间的对偶等价性在量化Domain中的对应形式。这些内容的研究可以使我们认识到相关范畴的本质，更关系到量化Domain的模糊集方法的可行性和将来在理论计算机科学中应用的可能性，具有重要意义。

一、项目背景.模糊Domain是基于模糊集方法的Domain，其基本概念是模糊偏序集。模糊Domain将经典偏序集中元素之间的偏序关系定义为一种程度，即每一个元素都有小于等于另一个元素的程度，而不再是绝对的小于等于或者不小于等于。因此，模糊偏序集和模糊Domain分别可以看作是偏序集和Domain的量化扩展模型。.范畴之间的同构或（对偶）等价说明所涉及的不同数学结构之间的紧密联系，其中（模糊）拓扑结构和（模糊）序结构的关系是一个重要的研究课题。2011年，我们将著名的Papert-Papert-Isbell伴随及其导出的等价范畴成功地建立在了模糊偏序的框架下，并在2012年证明了相应的Modified L-Soberity是最好的模糊Soberity。在本项目中，我们继续研究了模糊拓扑结构和模糊序结构的范畴关系，这种研究可以推动模糊拓扑和模糊序、模糊Domain理论的交叉应用和共同发展。.二、主要研究内容和重要结果.（1）证明了模糊偏序集范畴、模糊DCPO范畴、模糊Domain范畴和模糊连续格范畴等是自对偶等价范畴。.（2）以交换单位Quantale为取值格建立了模糊偏序集和代数的模糊偏序集之间的伴随函子，并给出了这对函子构成范畴等价的一个充分条件。.（3）以完备Heyting代数为取值格，以模糊Scott拓扑为媒介，建立了模糊Domain范畴和强模糊完全分配格范畴之间对偶等价关系。.（4）利用特殊化模糊序，以模糊Scott拓扑为媒介，证明了模糊连续格和入射的T0的模糊拓扑空间是范畴同构的。.（5）一个完备格称为完备生成的，如果每一个元素可以表示为一些完备余素元的并。已有的结论表明，完备生成的完备格和T0的Alexandrov拓扑空间是范畴对偶等价的。我们以模糊完备格为基本工具得到了该对偶的模糊形式，即完备生成的模糊完备格和sT0的Alexandrov模糊拓扑空间是范畴对偶等价的，该对偶可以看做是Papert-Papert-Isbell对偶的Alexandrov对应形式。.三、科学意义.（1）诸多自对偶等价范畴从本身定义说明了模糊偏序集、模糊DCPO和模糊Domain等的合理性。.（2）在经典情形下，Scott拓扑及拓扑空间的Soberity是连接拓扑结构和序结构的纽带。在模糊情形下，我们用模糊Scott拓扑建立的模糊Domain范畴和强模糊完