Banach空间的非线性几何及其应用

This project belongs to the research of nonlinear geometry of Banach space and its application, we will investigate the problems about isomorphic embedding of Banach space and its subset as following: (1) "linear" isomorphism; (2) Lipschitz isomorphism; (3) uniformly continuous isomorphism; (4) coarsely isomorphic embedding or equivalence, and their applications in Fourier multiplier theory, and in construction of gradient flow; especially, we want to research (a) properties of isometric mapping, disturbed isometric mappings and coarsely isometric mapping; (b) the coarse embedding of bounded geometry into Hilbert space, superreflexive space (or uniform convex space); (c) coarse embedding of a class of special metric spaces into Hilbert spaces; (d) applications of above theories to Fourier multiplier theory and to maximal regularity of several typical vector-valued boundary problems; and （e) applications of Lipschitz isomorphism theory on the constructions of gradient flows and their convergence.

本项目内容属BANACH空间的非线性几何及其应用范畴，旨在以BANACH空间及其子集的同胚嵌入问题包括（1）“线性”同胚；（2）Lipschitz同胚；（3）一致连续同胚；（4）粗同胚嵌入或等价性, 以及它们在Fourier乘子理论和在梯度流构造上的应用研究为主线，重点研究（a）保度量映射, 扰动保度量映射, 粗保度量映射的基本性质；（b）有界几何空间粗嵌入到Hilbert空间，粗嵌入到超自反空间（或一致凸空间）；（c）一类特殊度量空间同胚嵌入到Hilbert空间；（d）线性同胚理论在Fourier乘子理论、系统解决几类向量值边值问题中的最大正则性问题上的应用，以及（e）Lipschitz同胚理论在梯度流构造和收敛性上的应用。

本项目旨在研究Banach空间包括度量空间的嵌入理论及其在相关领域，尤其是在Fourier乘子理论及其在分数阶退化时滞微分方程的适定性问题中的应用，以及在梯度流构造上的应用等。本项目全面完成了计划任务，研究成果包括：（1）建立了度量空间和Banach空间的“超空间”的三次保序、等距和紧零化嵌入定理；（2）解决了非紧性测度研究领域“是否每个无穷维的Banach空间都存在不等价的正则非紧性测度？”“Kuratowski非紧性测度是否具有可数决定性？”“非完全非紧性测度定义中广义Cantor交性质的假设是否独立于其它假设条件？”“非紧性测度方法求解无穷维Banach空间上柯西问题的关键不等式成立的条件是什么？”等长期公开的基本问题；（3）给出了Banach空间的凸函数锥上的保逆序变换存在的特征定理和表示定理；给出了第一例不可交换Banach空间上的换位子的完全表示；（4）针对分数阶退化时滞微分方程的三个适定性问题，在函数空间Lp([0, 2pi],X)等空间中的适定性问题转化成相应的算子值傅里叶乘子问题，给出了这三个问题在Lp([0, 2pi],X)等空间中具有适定性的充分必要条件；在梯度流问题研究上，（5）建立了广义梯度系统的无穷维框架下收敛和稳定性定理，解决了Troy关于Kuramoto的两个猜想；（6）证明了有限振子的Kuramoto模型自然频率相同时同步现象发生的无条件性，解决了这一困难问题；（7）针对离散的凸优化问题提出了一种外插梯度算法，并证明迭代序列的收敛性，这是第一个关于迭代序列收敛的结果；（8）针对不同的限制对分步式优化问题基于非光滑的梯度系统，建立了分步式优化求解算法；（9）对Cucker-Smale模型，给出了Lipschitz扰动情况下的系统发生群体行为时Lipschitz常数和通信连接参数之间的关系。这些结果主要由分别发表在诸如J. Noncommutative Geometry，Israel J Math.，Math. Nachr.，SIAM Journal on Applied Dynamical Systems, IEEE Trans. Neural Netw. Learn. Syst.，Sci. China Math. 等学术刊物上的57篇论文组成。项目资助了三个国际学术会议，资助博士生31名（其中17人已获得博士学位）。