Banach空间非线性几何理论和粗嵌入问题

This project involves the theories related to functional analysis,geometric nonlinear functional analysis,convex analysis in infinite dimensional spaces and coarse geometry.And it is designed to make comprehensive use of the classical theory, ideology and methods from the above-mentioned fields to study and solve,or a partial solution to the following important issues:.(1)the problems related to Lipshchitz isomorphism(embedding),uniformly isomorphism (embedding) and coarse embedding;.(2)the problems related to the coarse embeddability of locally finite metric spaces into Hilbert space or superreflexive spaces;.(3)the problems related to coarse embeddability between general metric spaces;.(4)the problems related to coarse embeddability between general Banach spaces.

本项目涉及Banach空间几何理论、几何非线性泛函分析、无穷维凸分析和粗几何等相关领域，旨在综合运用和进一步发展上述领域中经典的理论、思想和方法技巧，来研究、解决或部分解决下述重要问题：.（1）集合Lipschitz同胚(嵌入)、一致同胚(嵌入)与粗嵌入问题；.（2）局部有限度量空间到Hilbert空间、超自反空间的粗嵌入问题；.（3）一般度量空间之间的粗嵌入问题；.（4）一般Banach空间之间的粗嵌入问题。

本项目力图把传统的Lipshcitz分类, 一致分类等Banach空间非线性几何理论同最新的粗嵌入, 粗几何理论有机地结合起来. 围绕"(超)弱紧集, 一般Banach空间的粗嵌入性"这一重要问题, 对下述内容展开研究:.1. (超)弱紧集或一般度量空间嵌入, 粗嵌入进自反空间, 超自反空间, Hilbert空间等相关问题..2. 用可逼近性, 强可逼近性刻划闭凸集的(超)弱紧性和紧性..3. (超)弱紧集, (强)可逼近集, 逼近弱紧集等的代数运算..4. 空间及子空间逼近紧性研究..5. 球覆盖性质的研究.. 主要研究结果有: .1. 证明了, 度量空间$X$可粗嵌入进$l_2$当且仅当存在某个$p_0>2$, 使得$X$可一致地粗嵌入进$\{l_p:2<p\leq p_0\}$. 这给出了度量空间粗嵌入进$l_2$的一个等价刻画..2. 证明了, Banach空间的闭凸集是局部弱紧(相应地, 局部紧的)的当且仅当其是超-可逼近的(相应地, 超-强可逼近的). 这一结论蕴含了经典的空间自反性(相应地, 有限维空间)的等价刻画..3. 证明了, Banach空间$X$的有界闭凸集$C$是弱紧的当且仅当对于$X$上的每个等价范数$|\cdot|$, $C$在$(X,|\cdot|)$中均是可逼近的. 这从再赋等价范数的角度, 得到了弱紧集的一个新的特征..4. 证明了, Banach空间中的弱紧凸集与可逼近凸集(相应地, 逼近弱紧凸集)的和是可逼近的(相应地, 逼近弱紧的). 这是自反子空间与可逼近子空间的和(满足其和是闭的)仍然是可逼近子空间这一经典结论的推广和局部化..5. 建立了Banach空间子空间单位球逼近紧性的特征刻画; 证明了Banach空间及其子空间逼近(弱)紧性在$p$次直和下的稳定性, 其中$1\leq p<\infty$. 这发展了球可逼近性相应的已有结论. .6. 证明了, Banach空间$X,Y$具有球覆盖性质(BCP)当且仅当$(X\times Y, \|\cdot\|_p)$具有BCP, 其中$1\leq p\leq \infty.$ 这改进了(去掉了GDS的假设)已有的关于乘积空间球覆盖性质的结论.