流形极小体积与Gromov体积关系的研究

现代黎曼几何研究的目标是要理解流形拓扑和曲率之间的关系，很自然我们要研究紧致光滑流形上的各种微分拓扑不变量。这方面的代表人物是M.Gromov,他提出了流形的极小体积这个几何不变量，在某种程度上刻画了流形的拓扑，属于整体微分几何中的一个重要专题。极小体积涉及广泛，不仅与众多重要的几何或拓扑不变量有联系，而且与流形的曲率以及与曲率相关的一些重要的问题如Yamabe问题有关联。本项目主要通过研究流形极小体积与上述不变量或曲率相关问题之间的关系，从各方面去获得有关极小体积的各种性质。本项目主要研究以下内容：（1）是否存在闭的5-维流形，其极小体积大于0，而其Gromov体积等于0 ？（2）对于一些特殊拓扑结构的流形，探索其极小体积的性质。

1. 如果一个紧致辛流形满足强 Lefschetz 性质, 则它的 de Rham 上同调具有惟一的 Lefschetz 分解. 但是强 Lefschetz 性质对于辛流形来说条件太强, 许多已知的非 Kähler 辛流形并不满足强 Lefschetz 性质. 为此, M. Fernández, V. Muñoz 和 L. Ugarte 引入了 s-Lefschetz 概念, 它弱于强 Lefschetz 性质. 我们证明, 对于紧致的 s-Lefschetz 辛流形, 其 de Rham 上同调也有类似的 Lefschetz 分解...2. 利用 Wallis 不等式, 我们得到素数计数函数的一个下界估计. 虽然结论并不是新的, 也稍弱于 Erdös 的结论, 但所用方法不同...3. 我们还研究了大素数的生成方法. 给出了几个可以有效生成大素数的公式. 并且猜测这些公式包含了无穷多个素数.