微分算子谱的离散性研究

本课题拟深入研究微分方程实参数解空间的性质和微分算子谱的离散性之间的关系，结合经典的分析和算子的方法，从多个途径研究微分算子谱的离散性：通过对微分方程实参数平方可积解的个数和性质研究微分算子谱的离散性；探讨实参数解刻画的自共轭域和用辛几何刻画的自共轭域之间的关系，从辛几何的角度研究特征函数的几何特征；研究如何运用实参数解刻画保持下界的Friedrichs 自共轭扩张，给出微分算子谱的离散部分的范围；研究给出微分算子具有有限谱的充分和必要条件以及这类算子与有限维矩阵的关系。同时从解的振动性和嵌入算子入手，使用经典分析的方法和算子的方法研究微分算子谱的离散性。给出高阶自共轭边界条件标准型，系统地研究边界条件参数的变化对特征值分布的影响，特别是边界条件在分离、混合、耦合之间变动时对特征值的影响。探讨高维的Prüfer变换，来研究处理高阶微分算子特征值的分布问题以及特征函数的几何性质。

本课题深入研究微分方程实参数解空间的性质和微分算子谱的离散性之间的关系，结合经典的分析和算子的方法，从多个途径研究微分算子谱的离散性. 通过对微分方程实参数平方可积解的个数、性质，以及运用线性算子的正则逼近, 研究了极限点型Strum- Liouville算子谱的离散性, 给出微分算子谱的离散部分的范围，证明了其特征值关于边界条件中参数的单调性, 连续依赖性, 随参数变动时的变动趋势以及特征函数在参数变动的紧区间上的一致连续可微的依赖性. 本项目探讨了实参数解和用辛几何刻画的自共轭域、耗散算子域之间的关系，应用辛几何、实参数解刻画等新的研究手段, 着重讨论了对称微分算子的自共轭扩张、耗散扩张、Friedrichs 扩张定义域描述以及不连续的Sturm-Liouville 算子的特征值和特征函数系的完备性问题. 项目组使用微分方程实参数解刻画了奇数阶复系数对称微分算子自共轭域（尽管这里微分方程的系数是复值的）,并通过自共轭域的刻画，给出了用微分方程实参数解的性质刻画谱是离散的条件.项目组研究给出微分算子（包括带有转移条件、边界条件中带有谱参数的微分算子）具有有限谱的充分和必要条件以及这类算子与有限维矩阵的关系，证明了具有转移条件的Sturm-Liouville算子也同样存在有限谱，并且其特征值个数与对应的转移条件之间存在着一定的联系.项目组把两区间上定义的（或带有转移条件的）微分算子理论应用到势函数是δ(或δ') 函数的Schrödinger算子上去，研究了其自共轭应满足的边界条件，与其相应的M函数的构造, 进而给出势函数是δ(或δ') 函数的Schrödinger 算子的谱分析. 2015年受我们项目组的邀请，国际微分算子研究领域的领军人物美国 Zettl教授到内蒙古大学作学术访问，在我校工作一个多月，开展实质性的合作研讨.项目执行期间完成两本专著的修订再版工作，专著《线性算子谱分析》（第二版）2015年6月由科学出版社出版，并被列入杨乐院士主编的“现代数学基础丛书”（第156卷）；项目执行期间完成并已公开发表研究论文32篇, 其中属于SCI检索的杂志上的有22篇.