数量曲率、Q-曲率及一般黎曼不变量形变的研究

The study of scalar curvature plays an important role in both differential geometry and general relativity. A series of researches originated from 1970's on scalar curvature revealed deep connections between deformations of scalar curvature and positive mass theorem. On the other hand, as another typical scalar-type curvature, Q-curvature, there are not too many researches focusing on its Riemannian geometric properties. Starting from classical researches on scalar curvature, this project try to investigate problems on deformations of scalar-type curvature and show that scalar curvature, Q-curvature and generic Riemannian invariants share essentially similar geometric properties. With the aid of these results, we can reveal and understand the interesting geometric structure of the module space of all Riemannian metrics with respect to these scalar-type curvature.

数量曲率在微分几何及广义相对论的研究中一直居于重要的地位。自上世纪70年代开始的一系列对数量曲率形变的研究工作，揭示了其与著名的正质量定理之间深刻的联系。另一方面，作为另一个数量型曲率量代表的Q-曲率，对其黎曼几何性质的研究却并不多见。本项目试图从有关数量曲率的经典研究入手，深入探讨数量型曲率量的形变问题，论证数量曲率、Q-曲率以及一般的黎曼不变量具有深刻的内在相似性，从而发现并理解有关数量型曲率量在黎曼度量模空间上存在的丰富几何结构。

数量型曲率是几何分析、共形几何以及广义相对论等领域中重要的研究对象之一，围绕数量型曲率的研究始终是相关领域的基本课题之一，推动着其中理论与应用的不断发展。数量型曲率主要包括数量曲率、Q-曲率以及一般黎曼不变量等基本曲率量。以往对于数量型曲率的研究很多侧重于其共形几何形变性质的研究，例如著名的Yamabe问题以及对应的Q-Yamabe问题等。本项目另辟蹊径，专注于研究数量型曲率的一般黎曼几何形变性质，试图发现这类几何对象之中共通的黎曼几何性质。本项目的研究内容主要包括三个方面：（1）限制性数量曲率形变的研究；（2）一般紧致区域上的 Q-曲率形变的研究；（3）一般黎曼不变量形变的研究。经过三年多耐心细致的研究，项目承担人及其合作者对上述三方面的研究取得了各自相应的进展：（1）确认了V-静态度量附近存在有关数量曲率的体积比较现象，特别地发现了稳定Einstein度量附近的体积比较定理，从而给出了著名的Schoen猜想与Bray猜想的部分证明；同时也论证了数量曲率与Bach-平坦流形的曲率间隙现象以及特征值、拟局部质量、Besse猜想之间的关系等；（2）对一般紧致区域上Q-曲率形变展开了深入的研究并确认了其中技术上的主要难点所在；（3）证明了一般共形变分黎曼不变量（CVI）具有与数量曲率以及Q-曲率类似的局部稳定性以及局部刚性现象。这些研究成果增进了人们对数量曲率、Q-曲率以及一般黎曼不变量之间的黎曼几何共性的理解，同时也显示了数量型曲率在黎曼度量模空间局部结构研究上所发挥的重要作用，为人们进一步研究黎曼度量模空间的整体结构奠定了一个良好的基础。