次黎曼几何的曲率型不变量的研究

Around 20 years ago, A.Agrachev etc., from the former USSR optimal control school, applied the methods of control theory to introduce the notation of Jacobi curves as a generalization of Jacob equations for nonholonomic geometry (including sub-Riemannian geometry). In the project, using the method of Jacobi curves, based on our previous work, we study the curvature-type invariants in sub-Riemannian geometry and related problems. First, we study the curvature-type invariants for sub-Riemannian structures on Yang-Mills fields and express them using the Riemannian curvature of the base Riemannian manifold and the curvature form of Yang-Mills fields. Then we establish the comparison theorems of number of conjugate points along sub-Riemannian extremals in terms of the bounds of Riemannian curvature and the curvature form. We will also compare our results with the classical geometry of Yang-Mills fields. Finally, we study the generalized Ricci curvature lower bounds property (called measure contraction property) for sub-Riemannian structures, which is one of the hot topics in the theory of metric measure spaces. We expect that our research will become an important part of the curvature and related research in sub-Riemannian geometry.

大约二十年前，前苏联最优控制学派A.Agrachev等利用控制论的方法引入Jacobi曲线的概念，作为Jacobi方程在非完整几何（包括次黎曼几何）的推广。在本项目中，我们利用Jacobi曲线的方法，在我们前期工作的基础上，研究次黎曼几何的曲率型不变量及相关的问题。首先,我们计划研究杨-米尔斯场上的次黎曼结构的曲率型不变量，并将其用底黎曼流形的黎曼曲率和杨-米尔斯场的曲率形式表示出来。然后，根据黎曼曲率和曲率形式的上界和下界，我们建立次黎曼测地线的共轭点个数的比较定理。我们并把所得结果与经典的杨-米尔斯场的几何理论进行比较。最后，我们研究次黎曼流形的广义Ricci曲率下界的性质(称为测度紧缩性质)，这是度量测度空间理论里面的热点问题之一。我们期待本项目的研究成果会成为次黎曼几何的曲率及相关研究的重要组成部分。

本项目以项目负责人的博士阶段的工作为基础. 通过与博士生导师德州农工大学Igor Zelenko教授和香港中文大学Paul Lee教授的合作，主要是利用Jacobi曲线来构造次黎曼结构的曲率型不变量并且研究各种的应用。这是黎曼几何中的Jacobi方程的推广。经过合理地计算，我们能够给出这些曲率型不变量的表达形式，特别是在Sasakian流形的情况下，该表达形式简洁而且与Sasakian流形本身的几何量有简单直接的联系。..本项目的主要研究内容和重要结果可以概括如下。第一，我们进一步研究了主G-丛上的次黎曼结构和自然动力系统的曲率型不变量，探索了其表达式和主G-丛的几何结构的联系。第二，我们给出了Sasakian流形上的次黎曼结构的Ricci曲率的表达式从而给出了一个Ricci曲率下界，这个结果大大推广了Heisenberg群上的已知结论，也为后期进行更一般的次黎曼结构的Ricci曲率下界的研究打下了基础。同时，利用Ricci曲率下界，我们还得到了诸如庞加莱不等式之类的几何结论。第三，我们发展了一套利用好的坐标架来简化曲率型不变量的计算的方法，如果与不用坐标架的计算方法相结合，可以相当准确地给出曲率型不变量的表达式，从而建立了多种比较定理。..本项目的科学意义可以归纳如下：当我们把次黎曼流形的曲率型不变量表达出来后，就可以据此研究次黎曼流形的诸多几何性质：例如庞加莱不等式等几何分析的性质比较定理等。