曲率与黎曼流形的几何刚性

The theme of this project is to study the interaction between the curvature, the geometry and topology of Riemann manifolds, in which the emphasis is on the rigidity problems of geometry and topology associated various curvatures. In particular, we focus on the classification of the geometry and topology of Riemann manifolds under the integral curvature pinching, especially 4-manifolds. The integral curvature pinching is a inequality satisfied by various curvature functionals and Yamabe constant. It is also discussed whether the pinching constant is the best. In addition, we hope to provide a precise characterization of the geometry and topology of manifolds which achieve the optimal pinching condition. This project is studied by means of the Bochner technique developed, the methods which Chang-Gursky-Yang et adopt on studying conformal geometry and the techniques for the development of geometric flows. In particular, the Spin geometry and Seiberg-Witten invariant theory are used to study on 4-manfolds，which we draw on LeBrun's works on 4-manfolds.

本项目的目标是研究黎曼流形的几何、拓扑和曲率之间的关系，其中重点是与各种曲率相关的黎曼流形的几何和拓扑的刚性问题。尤其关注在整体曲率拼挤下黎曼流形的几何和拓扑的分类；特别地，对四维流形给予重点研究。整体曲率拼挤是指各种曲率泛函和Yamabe常数所满足的不等式。并且讨论拼挤常数是否最佳，而且在最佳时精细地刻画流形的几何和拓扑。综合运用Bochner技巧发展起来的手段、Chang-Gursky-Yang等学者研究共形几何的方法和几何流发展起来的技术来研究此项目。特别地，对于4维流形，运用Spin几何和Seiberg-Witten不变量理论来研究。可以借鉴LeBrun等专家关于4维流形的工作。

近四年来，按项目计划我们取得一些成果：. 首先，在曲率拼挤条件下，对具有正数量曲率的调和Weyl曲率流形或Bach-平坦流形，给出了一些刚性结果。这改进了Hebey和Vaugon，Singer等学者的一些结果。特别地，根据某些共形不变量，得到了一些关于具有正Yamabe常数的四维流形刚性定理和分类定理。重新证明并推广Chang-Gursky-Yang共形不变球定理和Gursky一些结果。. 其次，研究了Lorentz球面S^n+1_1中的Lorentz等参超曲面，给出了所有种类的Lorentz等参超曲面的完全分类和解析表达式。对于Nearly Kaehler流形S^3×S^3上的一个拉格朗日子流形，将给出由M上的一个单位向量场典范引出的殆切触度量结构是α-Sasakian,β-Kenmotsu以及cosymplectic的充要条件。另外，当这个殆切触度量结构为正规时，找出在什么条件下这个殆切触度量结构是√3/3-Sasakian,√3/3-Kenmotsu或cosymplectic结构。. 最后，根据平均曲率的L^n范数给出了负截面曲率的单连通流形中完备子流形上的p-Laplacian的第一特征值的一个下界估计；在一定曲率条件下，给出了Hadamard流形中完备非紧子流形上L^q p-调和l形式的一些消失定理。