黎曼流形上 Ricci 曲率的几何

The proposed research is concerned with geometric aspects of Ricci curvature on Riemannian Manifolds. In particular, we plan to study the degeneration theory of Riemannian metrics under Ricci curvature bound, as well as the singularity formations of Ricci flow. In the first part, we will focuses on studying the connections between Ricci curvature and the geometric, topological structure of Riemannain manifolds, the convergence theory of Riemannian metric with lower Ricci curvature, and the regularity theory of Gromov-Hausdorff limits of Riemannian metircs with bounded Ricci curvature. These three projects are intimately connected, the further understanding in geometric aspects of Ricci curvature should solve many open geometric problems involving Ricci curvature. In the second part, the main goal is to classify gradient Ricci soliton. Specifically, we hope to study the geometric structure of Ricci shrinkers with nonnegative Ricci curvature. The success will benefit the understanding of the singularity formations of the Ricci flow, and has profound applications in geometry and topology of manifolds.

本项目主要研究 Riemannian 流形上 Ricci 曲率的几何。特别地，我们将研究 Ricci 曲率假设下 Riemannian 度量的形变理论及 Ricci 流的奇点理论。在第一部分中，我们将重点探索 Ricci 曲率与流形几何拓扑结构之间的关系，Ricci 曲率有下界 Riemannian 流形的收敛理论，以及 Ricci 曲率一致有界 Riemannian 度量 Gromov-Hausdorff 极限的正则性。这三个研究课题密切相关，对 Ricci 曲率几何的新观点将解决很多与 Ricci 曲率有关的几何问题。在第二部分，我们的主要目标是分类 Ricci 孤立子。特别的，我们希望能够刻画具有非负 Ricci 曲率的 Ricci 收缩子的几何结构。如果获得成功，这将帮助理解 Ricci 流的奇点理论，进而在研究流形的几何拓扑问题上获得新进展。

本项目主要考虑与 Ricci 曲率相关的几何问题，其中主要包含黎曼流形上 Ricci 曲率与度量几何，Ricci 收缩子的分类和结构，Calabi-Yau 流形中 Lagrangian 子流形间测地线的存在性，以及一类奇异复 Monge-Ampère 方程的解在奇点附近的渐进展开等问题。. 主要结果分三部分：（1） 在特定曲率条件假设下，我们可以用不同的方法重新证明 Ricci 收缩子的某些刚性定理；（2）在环面 T^n 的余切丛中，我们可以证明两个具有超临界相位的 Lagrangian 图之间存在（弱）测地线；（3）与冯可、石亚龙合作，我们可以证明一类奇异复 Monge-Ampère 方程存在弱 Hölder 连续解。