奇异流形上的非线性偏微分方程的定性性质研究

This proposal considers the global existence, long-time behavior, finite time blow up and upper & lower bound of blowup time of solutions to the initial boundary value problem for two classes of nonlinear partial differential equations (nonlinear pseudo-parabolic equation and nonlinear strongly damped wave equation) with three different initial energy levels (subcritical initial energy level, critical initial energy level and supercritical initial energy level) on different singular manifolds. The goal of our proposal is to investigate the influence of different singular manifolds (conical singular manifold, edge singular manifold and corner singular manifold) on the global well-posedness of solutions, and try to reveal the effect of the relationship between the different singular manifold and initial data on the global well-posedness of solutions. Especially this research aims to show what kinds of initial data can assure the existence or non-existence of global solutions with supercritical initial energy.

本项目考虑三种奇异流形上的两类非线性偏微分方程（一类非线性拟抛物方程和一类非线性强阻尼波动方程）的初边值问题在全能级空间下（次临界能级、临界能级与超临界能级）的解的整体存在性与衰减行为及解的有限时间爆破与爆破时间的上下界。本项目旨在研究三种不同的奇异流形（锥奇异流形、楔奇异流形、角奇异流形）对于解的整体适定性的影响，试图揭示出不同的奇异流形与初值的交互关系在解的适定性中的作用，特别是尝试给出超临界能级解的整体存在性与有限时间爆破关于初值的依赖性。

本项目主要研究了奇异流形与欧式空间上的几类非线性偏微分方程的定性性质，包括奇异流形上的非线性波动方程与抛物方程，欧式空间上的非线性抛物方程（组）及盘梁杆等力学方程。其中，本项目通过使用位势井方法证明了上述几类重要数学物理模型方程的定性问题在全能级空间下（次临界能级、临界能级与超临界能级）的解的存在性与衰减行为及解的有限时间爆破与爆破时间的上下界，对比与分析了空间流形和模型结构，及与耗散色散和非线性源等具有重要物理意义的结构项间的交互作用在初值划分解的存在性问题中的作用。尤其是本项目克服了由锥奇异流形的几何奇性所带来的诸多分析困难，如由几何奇性引起的椭圆算子正则性的缺失，建立了退化椭圆算子对应的不动点理论，进而了证明方程解的局部存在性和唯一性，并在锥奇异空间中建立类似于欧式空间中符合Palais-Smale条件的变分结构，构建加权形式的势能泛函，利用非线性泛函分析等技术得到加权形式的Nehari流形，结合改进的Levine凹性不等式与有界性原理，证明了超临界能级解的整体存在与有限时间爆破关于初值的依赖性。这为其他奇异流形上的波方程与热方程的研究提供了系统化解决初值划分问题的新范式。.此外，本项目还研究了浅水波方程与流体力学方程的动力学行为，特别是针对可用于描述无向浅水波在平底河床上的传播过程的Novikov方程，提出了新的向右局部化概念，刻画了扰动解的局部化结构，克服了Novikov方程相较于Camassa-Holm方程缺少动量密度守恒所带来的困难，建立了对应的Liouville定理，同时通过利用能量密度建立的局部化分析得出了扰动解在无穷远处的衰减性，并结合分析技巧确保了动量密度为有限测度，最终封闭了调制论证，得到Novikov方程尖峰孤立波的渐近稳定性，改进了法国数学家Molinet(Arch. Ration. Mech. Anal. 230(2018)185-230)针对Camassa-Holm方程提出的渐近稳定性理论方法，为后续处理此类稳定性问题的研究提供强有力的理论工具。.项目发表论文30篇，被引频次总计409次，他引频次达384次，高被引论文5篇，热点论文1篇，组织国内、国外学术活动6次，参加学术活动及学术交流访问25次，培养博士4人，硕士17人。