高阶非线性发展方程的高能问题

本项目研究位势井理论对于高能量状态下的应用。主要研究高维具阻尼（弱阻尼和强阻尼）的非线性波动方程以及高阶高维具色散耗散或应变的波动方程解的适定性。旨在研究变分理论对于高能问题的新的处理手段和技术，通过对于位势井结构的研究进一步揭示该方法在原先低能问题的本质以及对应的高能问题中应发挥的作用。对于上述两类方程所对应的问题，本项目一方面完善和改进关于整体存在性，不存在性和渐近性质的相关结果，同时重点对其高能问题进行深入研究，解决存在于此方向的一些备受关注的公开问题。

项目在位势井框架下针对具不同结构项的非线性发展方程研究其在不同能级状态下的整体解适定性问题，分析了初值与解的整体存在性及非存在性的关系。特别是项目就保证超临界能级整体解存在性与非存在性的充分条件进行了细致的研究。具体地说，项目针对非线性抛物方程，非线性波动方程及薛定谔方程研究了定解问题在次临界能级、临界能级及超临界能级情形下解的动力学形态。.项目就半线性强耗散拟抛物方程的初边值问题的初始能级遍历整个实数空间的情形下关于解的整体适定性展开研究，即次临界能级、临界能级和超临界能级。项目在位势井理论框架下不但得到了问题在次临界能级与临界能级状态下的整体解存在性与非存在性的门槛条件。而且项目采用比较原理与变分法相结合的Nehari流形分析技术并结合反耗散思想明确地指出此类问题存在初值保证其超临界能级整体解存在或非存在，推进了针对此类问题的研究工作的开展，为今后研究此类问题的初值与超临界能级整体解之间的关系奠定基础。.项目研究了一类具非线性应变的四阶波动方程的初边值问题。项目基于构建的不变流形通过证明引入的辅助函数的次幂相对时间变量具有凹性，结合不稳定流形的不变性，得到了解的整体非存在性。项目在位势井理论的框架下丰富了具非线性应变项与源项的高阶波动方程在高初始能量下解的整体适定性结果，同时对位势井理论方法进行了推广。.项目研究了一类具组合非线性源的二阶非线性薛定谔方程的初值问题的整体解适定性。项目利用Nehari泛函和能量泛函对解空间进行划分，详细解读了能量泛函和Nehari泛函两者之间的关系，给出了所研究问题整体解存在的充分条件以及爆破解的存在空间，更加直观地剖析了初值对于方程解的性态的影响，这对于位势井理论的完善和发展都具有重要的意义。.项目发表SCI收录论文13篇，其中JFA期刊1篇，JCR二区刊物3篇。项目发表论文被引频次总计30次，他引频次达15次。