位势井理论及其在Kirchhoff系统中的应用

The potential well theory is an important technique to investigate the dynamic behaviour of solutions for nonlinear evolution equations, which brought numerous meaning results and also left many intereting unsolved problems. And also the Kirchhoff equaitons and systems are some famous mathematical physical models for describing the nonlinear elastic string vibration. Our project aims to undertake a deep study on the struction of potential well and try to make a breakthrough on the potential well theory, which will be used to treat the nonlinear Kirchhoff system with viscoelastic terms and some nonliear Kirchhoff syetem with coupled nonliear source terms. Our project considers the conditions on the global existence, long time behaviour and finite time blow up of solutions for above systems and the relationships between these conditions. What is more, our project undertakes a comprehensive study on the dynamic behaviour of solutions regarding the initial enery at three different energy levels(sub-critical energy level, critical energy level and sup-critical energy level). Moreover our project will reveal the relationships between the corresponding coefficients of the struction of potential well and the conditions on the initial data, and also the influences on the properties of solutions.

位势井理论是研究非线性发展方程解的动力学性态重要的手段,并且产生了大量有意义的成果,同时也遗留了大量有趣的重要问题.而Kirchhoff方程和方程组是描述弹性弦非线性振动的著名数学物理模型方程.本项目旨在通过对位势井结构展开深入细致的研究,以期在位势井理论的研究上有所突破,并以此作为技术手段分别研究具粘弹性项非线性Kirchhoff系统和非线性项耦合的Kirchhoff系统.本项目研究上述系统整体解的存在性,长时间行为和有限时间爆破的条件以及条件间的关系.更有特色的是,本项目基于初始能量,在不同的能级下(次临界,临界和超临界)全面研究系统解的动力学性态,同时,本项目将揭示位势井结构的相关系数以及初值所满足条件之间的关系,以及对解的性质的影响.

项目在位势井框架下针对不同类型的非线性偏微分方程具不同初始能级的解的整体适定性进行了研究，讨论了初值与整体解的存在与非存在的关系。发现当非线性偏微分方程的结构固定后，其解并不是无条件整体存在的，当然也不是无条件爆破的，因为解的整体适定性极其强烈地取决于对初值的限制，甚至初值对问题解的存在性与非存在性起着决定性作用。.项目研究了六阶非线性多维“好”的Boussinesq方程的Cauchy问题的解在三种不同初始能级下的整体适定性。在位势井框架下，分别利用Galerkin方法和凹函数方法得到问题的解在低初始能级和临界初始能级的整体存在和有限时间爆破。此外，通过引入一个新的稳定集合，提出了某些关于初值的充分条件，证明了问题的解在高初始能级整体存在。最后发现了问题的整体解在高初始能级和低初始能级下的关系。.项目考虑了一类六阶1-D非线性波动方程的初边值问题,在次临界初始能级和临界初始能级下处理了更加广义的非线性源项。运用位势井理论讨论了问题整体解的存在和不存在的可能性，并给出了问题的解在三个不同初始能级（次临界初始能级，临界初始能级和超临界初始能级）下整体存在和整体非存在的充分条件。.项目研究了半线性波和热方程初边值问题以及非线性薛定谔方程的Cauchy问题整体解的存在性和不存在性。该结果在三种不同的初始能量水平下完成，但是由于NLS没有比较原理，只研究了低初始能量下的结果。项目最重要的特征是关于非线性源项的新假设至少包括八种重要且流行的多项式型非线性源项。项目还发现了对初值的某些划分，以保证上述三个问题解的整体存在和有限时间爆破。.项目发表论文20篇，出版专著一部，其中JCR一区论文9篇，二区6篇，三区3篇，四区2篇。项目发表论文被引频次总计31次，他引频次达24次。.培养硕士30人，博士11人。获黑龙江科学技术二等奖一项, 省高校科学技术一等奖二项，省数学会优秀青年学术奖一项。