流形上的一类完全非线性偏微分方程

Around the higher order Yamabe problem, this project is dedicated to study a class of nonlinear problems in geometry, and their applications on geometry and physis. We plan to study the existence and the compactness of the solution to the k-Yamabe problems on Riemannian manifolds with boundary and the existence of the solution to the k-Yamabe problems on CR manifolds, the prescribed k-curvature problems in conformal geometry, including on the compact manifolds without boundary and the Plateau problems on the manifolds with boundary, and Bernstein type problems on complete and noncompact manifolds.

本项目致力于研究以高阶Yamabe问题为中心的几何中的一类非线性问题，以及它们在几何与物理中的应用。我们计划重点研究黎曼几何中带边流形的k-Yamabe问题的存在性和解集的紧性和CR几何中的k-Yamabe问题的解的存在性，共形几何中的预定k-曲率问题，包括紧致无边流形和带边界的Plateau问题，以及完备非紧流形的Bernstein型问题。

在本项目中我们证明了带边的n维黎曼流形的k-Yamabe问题当k=2，n>4的情形的解的存在性；当2<k<n/2时，若Yamabe算子具有变分结构时其解也存在。我们研究了k-Yamabe孤立子，局部共形平坦黎曼流形上由模拟Schouten张量定义的k-曲率为常数时流形的刚性问题。我们还研究了在完备非紧流形上预定k-曲率问题解的存在性。我们进一步研究了CR流形上的CR-Yamabe问题，证明了若CR-Yamabe常数为正时，在n=1，即实的三维流形上CR-Yamabe流的收敛性；若CR-Yamabe常数等于0，则在任意维数的紧的CR流形上CR Yamabe流均指数收敛于一个平坦的拟厄米特数量曲率的度量。我们还利用几何流研究预定曲率问题，特别是用几何流的方法证明了Aleksadrov问题和对偶Minkowski问题。