若干相依序列的概率极限理论和方法及其在保险与金融数学中的应用

The probability limit theory and methods for dependent sequences and their applications in the insurance and financial mathematics, which are one of the basic implemented subjects in the probability and statistics, have been paid much attention to. The purpose of this project is to study precise large deviations for the determined sums and the random sums of several dependent sequences of random variables with non-identical distribution and even under weaker conditions. And we discuss the uniform approximation of the value of the tail probability of randomly weighted sums when the weights tend to infinite interval. The results obtained will be applied to some relevant problems in the actuarial domain. We investigate several strong convergence and strong convergence rate of dependent sequences under more general conditions, and apply it to some complicated statistical models for some effective solutions. We establish several new exponential probability inequalities and moment inequalities for dependent sequences and put forward new compact assumed conditions, to obtain more precise complete convergence and therefore to further study the strong convergence rate, asymptotic normality and strong consistency, and give the application in the theory of linear model. We establish the inverse moment for partial sums and regular sums of random variables in general situations and apply it in the relevant fields such as reliability systems and actuarial domain. We provide several new theories and methodologies about demimartingale and N-demimartingale, and apply them in the problems concerned with stochastic process theory and insurance and financial mathematics, etc.

相依序列概率极限理论和方法及其在保险与金融数学中的应用是概率统计中的应用基础性课题之一，近年来倍受关注。本项目拟研究若干相依序列确定和与随机和在非同分布场合及更弱条件下的精确大偏差，考虑随机权和尾概率当权趋于无穷区间上取值时的一致逼近问题，并将它们应用于保险精算领域的相关问题。研究若干相依序列在更一般条件下的强收敛性及强收敛速度，同时将其应用到一些复杂的统计模型中去，得到一些统计模型问题的有效解法；建立若干相依序列新的指数型概率不等式和矩不等式，提出新的、简洁的假设条件，建立更精确的完全收敛性结果，从而进一步去研究强收敛速度、渐近正态性及强相合性等性质，并给出其在线性模型理论中的应用。建立一般场合下随机变量列部分和与正则和的逆矩，同时将其应用到可靠性系统、保险精算等领域的相关问题中去。提出一些有关弱鞅和N-弱鞅的新的理论和方法，并将其应用于随机过程理论、保险与金融数学等领域的相关问题中去。

相依序列概率极限理论和方法及其在保险与金融数学中的应用是概率统计中的应用基础性课题之一，近年来倍受关注。建立了若干相依变量的概率不等式和矩不等式，由此进一步研究了相依变量的若干概率极限性质，如强收敛速度、完全收敛性、完全矩收敛性等；在相依样本和简洁条件下，研究样本分位数估计问题，获得了类似独立样本下的Bahadur表示和Berry-Esseen界；获得了相依数据下的逆矩渐近逼近表达式及其估计量的收敛速度；对弱鞅和N弱鞅的研究过程中，利用停时等技术工具，获得了类似鞅的一些经典结论，如极大值型不等式、Doob型不等式、凹Young 函数型不等式、Marshall型不等式；在统计模型研究过程中，研究相依数据下回归模型非参数估计问题，半参数回归模型中的估计问题，线性模型M估计问题，非线性回归模型参数最小二乘估计问题，获得了有关估计量的渐近结果（如相合性、收敛速度、渐近正态性等）；建立了一致变化尾下，END序列随机和的一个一般性的精确大偏差，其结果推广了Chen和Zhang (2007)和Chen等 (2011)的相应结果；在可测空间下，建立了非负可测函数的一个双边不等式，并且将随机变量的场合推广到一般可测函数的场合；建立了可测空间下的一个加权版本的Borel-Cantelli引理，作为应用，得到了一些经典的结论。自2013年以来，发表标注项目资助号11201001的SCI论文70篇，多数发表在《Test》、《Journal of Theoretical Probability》、《Statistics》、《Metrika》、《Statistics & Probability Letters》、《Journal of Mathematical Analysis and Applications》、《Statistical Papers》、《Acta Mathematica Sinica, English Series》、《Chinese Annals of Mathematics, Series B》等重要学术期刊上。项目“相依变量的概率极限理论和统计推断理论”获2014年度安徽省科学技术奖三等奖。在科学研究、学术合作与交流、人才培养等方面取得重要成果，我们胜利地完成了原计划任务。