相依序列极限性质及其在回归模型和变点检验中的应用

This project aims to research the limit theories of dependent sequences and their applications to regression models, Change-point detection and so on. Firstly, we investigate the law of large numbers for weighted sums of the dependent sequences with infinite mean including Cauchy type distributions and Pareto type distributions. We also investigate the dependent structures of random weighted sums of dependent sequences and arm to obtain the strong law of large numbers and growth rate. Secondly, with the dependent errors and missing data, the estimators such as the least squares estimator for nonlinear regression model, least squares estimator and weighted estimator for semi-parametric model and estimator for quantile regression, are investigated and aim to obtain the asymptotic results including strong consistency, growth rate, asymptotic distribution, etc. Then, we will do some simulations and statistics models for real data. Thirdly, we will estimate the weighted ratios of dependent sequences and aim to obtain the equivalence relations between the first and second moments of ratios and the ratio and the square of ratios of first moment. The growth rates are also studied. By selecting the weighted functions, we construct the statistical estimator for the change-point detection and do some simulation for it. We also collect some real data such as the prices of oil, the growth of tumor and so on, and do the works of change-point detection.

本项目旨在研究若干相依序列的概率极限性质及其在回归模型、变点检验等领域中的应用。首先，研究相依序列满足期望不存在时的加权和大数定律（包括Cauchy型分布和Pareto型分布）；研究相依序列的随机加权变换结构性质，并期望获得其强大数律、收敛速度等。其次，研究相依误差和缺失数据下回归模型估计问题和统计推断问题（包括非线性回归模型最小二乘估计、半参数回归模型参数最小二乘估计和非参数加权估计、分位数回归模型估计），期望获得有关估计量的渐近结果（包括强相合性、收敛速度、渐近分布等），并做好相关数据模拟和实际数据统计建模等工作。第三，研究相依序列加权比例估计及其在变点检验等中的应用，期望建立比例一阶矩、比例二阶矩与一阶矩比例、一阶矩比例的平方之间等价条件及其逼近的速度。在此基础上通过权函数选取等方法构造变点检验统计量，做好数据模拟及实际数据（如世界石油价格、肿瘤生长数据）的变点检验工作。

本项目旨在研究相依序列概率极限理论及其在回归模型和变点检验等模型中的应用。首先，开展期望不存在时的大数定律研究，获得了一批重要理论成果，包括rho^*混合序列和NSD相依序列下其满足Cauchy分布、两尾Pareto分布或Pareto型分布时的弱大数定理和强大数定律，为研究厚尾分布数据提供理论和工具支持。其次，开展随机加权部分和与其他加权部分和的收敛性研究，获得了两两NQD、NOD和rho*混合的随机加权部分和及其他相依序列双下标加权部分和的收敛性，包括完全收敛和强大数定律等成果。作为应用，获得了回归模型估计和动力系统状态观测器的稳健性研究成果。第三，研究了相依误差下回归模型相合性问题，获得了一批重要理论成果，包括非参数回归模型加权估计、近邻权估计、小波估计，半参数回归模型参数最小二乘估计和非参数加权估计，非参数核密度估计等估计量的强收敛性、收敛速度、一致收敛性、极限分布、Berry-Esseen界等相合性成果。最后，开展相依序列随机序列比例模型和变点检验问题研究，获得了WOD序列的加权比例的一阶矩和二阶矩的渐近逼近及其逼近收敛速度，为变点检验研究提供新方法和新思路。在变点检验模型研究中，获得了alpha混合和m-WOD序列下CUSUM型变点估计量的相合性成果，包括弱收敛性、收敛速度及极限分布等理论成果。在此基础上开展比例模型和变点检验模型在水流量变化数据和经济金融数据等实际数据变点检验的应用研究工作。本项目成果丰富，具有潜在的应用价值。例如获得了期望不存在时的大数定律研究，获得了随机加权部分和的大数定律研究，获得了相依数据下多种回归模型估计量的相合性研究，获得了随机比例模型和变点检验模型的研究，等等。这些为我们进一步研究厚尾分布、回归分析、变点检验、质量控制等实际应用问题提供理论支持和有效方法。