相依变量的若干极限性质及其在风险模型中的应用

Some limit properties for dependent random variables and their applications in risk theory, which is one of the basic implemented subjects in the probability and statistics, has been paid much attention to. The purpose of this project is to establish some probability inequalities and moment inequalities for widely orthant dependent sequence, which can be used to study the probability limit properties, such as strong law of large numbers, strong convergence rate, law of iterated logarithm, central limit theorem, complete convergence and complete moment convergence for weighted sums and randomly weighted sums, and so on. In addition, these probability limit properties will be applied to some complicated statistical models for some effective solutions, such as nonparametric model, semiparametric model, etc. We establish the inverse moment for partial sums and regular sums of random variables under mild conditions and apply it to the relevant fields such as Finance and Insurance. The better convergence rate of the Bahadur representation for sample quantiles under dependent sequences and the Berry-Esseen bound will be obtained under some simple conditions. We will study the precise large deviations for the determined sums and the randomly weighted sums of widely orthant dependent sequence of random variables with non-identical distribution, which will be applied to classical risk models and generalized compound renewal risk models. We will propose some new methods to establish some new and important theoretical results for the dependent variables with consistent-tailed and heavy-tailed distribution.

相依变量的若干极限性质及其在风险模型中的应用是概率统计中应用基础性课题之一，近年来倍受关注。建立宽相依序列的概率不等式和矩不等式，进一步研究强大数定理、强收敛速度、重对数律、中心极限定理、加权和与随机权和的完全收敛性和矩完全收敛性等概率极限性质，由此进一步研究相合性、渐近正态性等统计大样本性质，同时将其应用到一些复杂的统计模型，如非参数模型、半参数模型等，得到一些统计模型问题的有效解法；建立一般场合下随机序列部分和与正则和的逆矩，同时将其应用到金融保险等领域的相关问题；在简洁的条件下，得到相依样本分位数更好的Bahadur表示的收敛速度和Berry-Esseen界，建立估计量更精确的渐近分布；研究宽相依序列确定和与随机权和在非同分布场合下的精确大偏差，并将其应用于经典的风险模型以及推广的复合更新风险模型；创建一些新的研究方法，建立有关带一致变化尾和重尾的相依变量的新的重要的理论结果。

相依变量的若干极限性质及其在风险模型中的应用是概率统计中的基础性课题之一，近年来倍受关注。建立了若干相依变量的概率不等式和矩不等式，由此进一步研究了相依变量的若干概率极限性质，如强收敛速度、完全收敛性、完全矩收敛性等；在适当的矩条件下，考虑次线性期望下一类非负双下标随机变量序列加权和的逆矩的渐近逼近问题，给定了收敛速度，同时还研究了上期望和下期望意义下非负随机变量部分和的收敛速度；在统计模型研究过程中，研究相依数据下回归模型非参数估计问题，半参数回归模型中的估计问题，线性模型M估计问题，获得了有关估计量的渐近结果（如相合性、收敛速度、渐近正态性等）；建立了非线性模型中最小二乘估计量的大偏差以及多元线性回归模型中最小二乘估计量的强相合性；在删失的NSD数据下，研究了Kaplan-Meier估计和风险估计的强收敛性质，建立了他们的强收敛速度，另外，还得到了Kaplan-Meier估计和风险估计的强表示；考虑平稳的自回归AR(p)时间序列模型，提出自正则加权和的M估计，在不需要方差有限的条件下，建立了自正则加权和的M估计的渐近正态性。自2016年以来，发表标注项目资助号11501004的SCI论文41篇，多数发表在《TEST》、《Statistics》、《Metrika》、《Statistics & Probability Letters》、《Journal of Mathematical Analysis and Applications》、《Methodology and Computing in Applied Probability》、《Statistical Methods and Applications》、《Statistical Papers》、《Electronic Journal of Statistics》、《Probability in the Engineering and Informational Sciences》、《Chinese Annals of Mathematics, Series B》等重要学术期刊上。在科学研究、学术合作与交流、人才培养等方面取得重要成果，我们胜利地完成了原计划任务。