求解界面问题的扩展杂交间断伽略金方法及其在流体界面问题中的应用

This program is to investigate an efficient and robust extended hybridizable discontinuous Galerkin (XHDG) method for solving interface problems on uniform cartesian mesh. Consider an interface problem with arbitrary smooth interface, we introduce an ansatz function to reformulate the original interface problem into a new one in which the inerface conforms to to the element boundary. Then the HDG method is used to solve the new interface problem for hight order convergence rate. In the numerical scheme, jump condition is imposed weakly on the numerical flux to accurately reserve the discontinuity of the solution. Since HDG method can reduce the number of global freedoms, this idea leads to a high efficient numerical method. We first investigate the basic but valuable elliptic interface problems. Then this idea shall be used to design numerical methods for solving complex fluid interface problems.

本项目研究在一致笛卡尔网格上求解界面问题的一种高效而可靠的扩展杂交间断加略金方法。考虑任意一个存在光滑界面的问题，我们将通过在界面附近引入一个间断函数，进而把原问题转换成一个新的界面问题，使得新问题的界面只是出现在网格单元的边界上。然后采用杂交间断伽略金方法来求解这个新的界面问题，以此保证扩展杂交间断加略金方法的高阶收敛性。在数值计算格式中，通过使数值通量在弱的意义下满足适当的跳跃条件，从而精确地保持解在界面上的间断。此外，杂交间断伽略金方法还可以大大减少离散偏微分方程时所产生的全局自由度数目，保证了扩展杂交间断加略金方法的高效性。本项目首先研究相对简单却具有启发意义的椭圆界面问题，而后再利用扩展杂交间断加略金方法的设计思想构造求解复杂流体界面问题数值方法。

本项目研究在一致笛卡尔网格上求解界面问题的一种高效而可靠的扩展杂交间断加略金方法。考虑任意的光滑界面，通过在界面附近引入一个间断函数，进而把原问题转换成一个新的界面问题，使得新问题的界面只是出现在网格单元的边界上。然后基于杂交间断伽略金方法构造了稳定且具有高阶精度的数值计算格式。由于基于间断伽略金方法构造数值格式，并使数值通量在弱的意义下满足跳跃条件，从而高精度地保持解在界面上的间断。本项目完成了扩展杂交间断伽略金方法的构造，并证明了数值格式的稳定性和误差估计。关于这种新方法应用于求解椭圆界面问题的文章已经在国际著名杂志IMA J. Numer. Anal. 上发表。此外，项目组已经在新方法应用于流体界面问题方向做了大量的工作，主要的一些结果正在整理过程当中。通过本项目的研究，为求解多类复杂界面问题提供了一种稳定的高精度数值方法。