三角形/四面体杂交间断谱元法及其预处理子研究

This program proposes a triangular/tetrahedral hybridizable discontinuous spectral element (THDSE) method and then investigates the theory and application of this high order method. The spectral element basis functions on triangle and tetrahedron are constructed by using mappings from rectangle to triangle and cube to tetrahedron, respectively. The possible inconsistency of the spectral element nodes on the shared edge or face of two adjacent elements induced by the mappings is solved by the DG technique for hanging nodes. The investigated discretization scheme is based on first order system. Thus the singularity of the mapping's Jacobian matrix will not make any problem in the computation of discretization matrices. Optimal error estimate for the L2-projection and interpolation on tetrahedral element is analyzed. Then, L2-error estimates for both 2D and 3D THDSE method for elliptic problems follow. In order to ensure the efficiency, this program also investigates pre-conditioners for both local linear systems and the global linear system using the matrix diagonalization method for separable problems and the methodology of additive Schwarz pre-conditioner for spectral element method. The proposed pre-conditioners shall be studied both theoretically and numerically.

本项目拟在DG框架下提出一种三角形/四面体杂交间断谱元法，并对其开展理论和应用研究。该方法利用四边形到三角形和方块到四面体的变换分别构造三角形和四面体上的谱元基函数。然后借用DG方法处理网格悬点的技术，解决由变换导致的谱元格点在相邻单元公共边或面上可能不匹配的问题。由于离散格式是建立在一阶组上，因此变换雅可比矩阵的奇异性不会给计算离散矩阵带来任何问题。理论分析方面，本项目将研究四面体谱元的L2投影和插值的最优误差估计，并讨论三角形/四面体杂交间断谱元法求解椭圆问题的误差估计。为了在使用高次元时保证计算效率，本项目还将基于求解可分问题的矩阵对角化方法和谱元法的additive Schwarz预处理技术，开展针对三角形/四面体杂交间断谱元离散的预处理子研究。对所设计的预处理子进行严格的理论分析，并用大量数值实验验证所得理论结果。

本项目在DG框架下提出了一种三角形/四面体杂交间断谱元法，并对其开展理论和应用研究。我们分别应用四边形到三角形和正方体到四面体的变换构造了三角形和四面体上的谱元基函数，然后借用DG方法处理网格悬点的技术，解决了非结构网格上偏微分方程的谱精度数值离散。理论分析方面，本项目首先证明了三角形/四面体谱元空间上的投影和插值误差估计，进而又证明了三角形/四面体杂交间断谱元法求解椭圆问题的误差估计。为了在使用高次元时保证计算效率，本项目利用基函数的张量积特点和预处理技术实现了离散系统的快速迭代求解。..在本项目支持下，项目组进入了一个非常重要的新研究领域，即分层媒质中的快速多极算法，并且在这一领域取得了重大突破。我们提出了一套在傅里叶谱空间中推导多极展开和局部展开的数学方法，从而得到了分层媒质中几类重要偏微分方程（Laplace方程、Poisson-Boltzmann方程、Helmholtz方程、Maxwell方程等）格林函数的多极展开和局部展开公式。应用这些新的展开公式，并引入等效极化源粒子的概念，我们实现了分层媒质中的快速多极算法。新算法在处理分层媒质中问题时达到了与经典快速多极算法处理均匀媒质中问题时几乎接近的效率。未来，它将在芯片设计、雷达仿真、太阳能电池设计、分子生物学等领域有着非常重要的应用前景。