自适应样条伽略金方法及其在求解抛物型方程中的应用

This project is going to construct an adaptive Galerkin method by using bivariate splines for solving parabolic partial differential equations(or, simply, BSN method ), by studying the theory of multivariate splines.The specific content of this project are as follows:. (1) To construct the space of multivariate splines which satisfy the boundary conditions;. (2) To make connection between the accuracy of the numerical solutions and the choice of the space of multivariate splines.. Because the BSN method more attention in the treatment of boundary，compared with classic methods, BSN method enjoys higher numerical precision around boundary. Meanwhile, BSN method has the virtue of self-adaption, it can choose proper space of multivariate splines as solution space in a manner of self-adaption by controlling the numerical precision.

本项目拟通过对多元样条函数的理论进行研究，构造一种求解抛物型偏微分方程的自适应样条伽略金数值解法（简称BSN方法）。具体研究内容如下：. （1）构造满足边界条件的多元样条函数空间，并以此作为解空间；. （2）建立数值解的精度与多元样条函数空间的选择之间的联系。. 由于BSN方法更加重视在边界的处理，因此，BSN方法与经典的数值解方法相比，在边界上具有更高的数值精度。同时，BSN方法具有自适应的优点，可以通过对数值精度的控制自适应的选择合适的多元样条函数空间作为解空间。

在本项目的支持下，项目组围绕抛物型方程在边界上求解精确度不高等问题进行研究，挖掘了多元样条方法的优势，构造了适合求解抛物型方程的多元样条方法，取得如下成果：.（1） 为了提高数值解的精度，就要使时间变量和空间变量的划分步长根据数值精度自适应的调节，这就使得作为解空间的多元样条函数空间必须也要根据数值精度自适应的调节，而多元样条函数空间的构造，依赖于基函数的生成，复杂的基函数在生成时会加大运算量。本项目构造的多元样条方法在提高数值解精度的同时，还能够适当的控制运算量。.（2）抛物型偏微分方程的边界无法有效的进行数值模拟，为此，本项目通过构造满足边界条件的多元样条函数空间来提高边界处的数值解的精度。由于并非任意剖分下的多元样基函数都可以构造出满足边界条件的多元样条函数空间，因此，本项目给出了剖分的选择，它依赖于时间变量和空间变量的划分步长。.（3）在本项目的资助下，项目组已发表SCI期刊论文3篇.