无穷区间上的分数阶发展方程的定性分析

Based on the wide applications in many fields of engineering and sciences such as Biology, Economics, Physics, Medical, theoretical research on fractional differential equations has gained considerable popularity around the world in recent years. There are many important problems that can be researched. Although the theory for integer order differential equations has been mature, it can not be extend to fractional order differential equations (on account of the essential differences between fractional derivatives and integer derivatives). It is necessary to investigate new methods. In recent years, the initial and boundary value problems of fractional evolution equations on finite interval has been investigated extensively. However, there are few works on the initial and boundary value problems of fractional evolution equations on infinite interval , and no work on the terminal value problems of fractional evolution equations. This project is devoted to studying the initial and boundary value problems and terminal value problems of fractional evolution equations with Riemann-Liouville derivative, Caputo derivative and Weyl-Liouville derivative on infinite interval, and investigating the existence and uniqueness, stability and controllability of the mild solutions. The substantial advances and results will promote the qualitative research and application of fractional evolution equations.

分数阶微分方程在许多学科领域都有非常广泛的应用，比如生物学、经济学、物理学和医学等。关于分数阶微分方程的理论研究目前已成为国际上一个热门的领域，且还有很多重要的问题值得研究。目前，整数阶微分方程的理论研究已经较为成熟，由于分数阶和整数阶导数的定义不同，这些理论并不能平行地推广到分数阶微分方程，因此需要我们进行新的探索和研究。近年来，关于有限区间上的分数阶发展方程的初边值问题已有许多好的结果，鲜少有文献讨论无穷区间上的分数阶发展方程的初值和边值问题，更是没有学者研究分数阶发展方程的终值问题。本项目将在抽象空间中研究具有Riemann-Liouville导数、Caputo导数和Weyl-Liouville导数的分数阶发展方程在无穷区间上的初值问题、边值问题和终值问题，讨论适度解的存在唯一性、稳定性及可控性。这些问题的解决或者实质性的进展将推进分数阶发展方程的定性研究和应用。

分数阶微分方程在许多学科领域都有非常广泛的应用，比如生物学、经济学、物理学和医学等。关于分数阶微分方程的理论研究目前已成为国际上一个热门的领域。本项目对分数发展方程的定性理论进行了深入的研究，主要研究成果包括：..1. 研究了分数阶终值问题的存在性和吸引性问题。利用广义的Ascoli-Arzela定理，Schauder’s不动点定理以及Darbo–Sadovskii不动点定理，给出了适度解的存在性和吸引性。. 2. 研究了一类分数阶随机波方程的逼近可控性问题。通过把分数阶随机波方程转换成分数阶发展方程，进一步给出弱解的定义。利用不动点定理，建立弱解的存在性结果以及逼近可控性。. 3. 研究了一类非齐次分数阶扩散方程在有界区域上的反演问题。利用Mittag-Leffler函数和特征值方法，建立了弱解的存在性、唯一性以及正则性以及在权重Holder连续函数空间中给出古典解的存在性、唯一性以及正则性。. 4. 研究了脉冲发展包含在有限区间和无穷区间上的C^0解的拓扑性质。首先利用泛函分析等理论知识，给出脉冲发展包含C^0解的概念，在算子半群是紧的和非紧的两种情形下，给出C^0解的拓扑结构和性质。. 这些问题的解决或者实质性的进展将推进分数阶发展方程的定性研究和应用，对分数阶偏微分方程的理论及应用做深入系统的研究提供了坚实的基础。