分数阶发展方程中的若干问题

In this project we plan to study some core topics on fractional evolution equations via the methods from the theory of semigroups of operators and the properties of fractional calculus. We will concentrate on the following aspects: characterizing the domain of the fractional powers of the operators, especially those partial differential operators that can generate some kind of fractional resolvent families but not a semigroup of operators; square root reduction for fractional resolvent families on UMD spaces; constructing the algebraic homomorphism for fractional resolvent families based on the properties of Mittag-Leffler functions; creating the theory of discrete approximations in space and in time for fractional evolution equations; investigation and development of algorithms for solution of ill-posed fractional evolution equations involving regularization methods; establishing the relations between some stochastic processes and fractional differential equations.

本项目计划将算子半群理论中的一些方法与分数次演算自身的特点相结合，藉以研究分数阶发展方程中的几个核心问题。我们将主要研究以下几方面问题：算子分数幂的定义域特征，特别是那些可以生成某种分数次预解算子族但不能生成算子半群的偏微分算子分数幂的定义域；UMD空间上分数次预解算子族的平方根分解问题；基于Mittag-Leffler函数特性的相应于分数次预解算子族的代数同态；分数阶发展方程关于空间和时间的离散化逼近；不适定分数阶发展方程解的正则化方法；分数阶微分方程和随机过程的关系。

在过去的几十年中分数次演算理论因其在数值分析、物理和工程中的广泛应用得以迅速发展和壮大起来。其中的一个重要研究方向是分数阶发展方程。本项目旨在研究分数阶发展方程中的若干核心问题。利用分数次预解算子族和Komatsu型积分表示，我们对Banach空间上非负算子、C概扇形算子、C概非负算子的分数幂及其定义域进行了系统的研究。我们得到了分数次预解算子族的一个新的代数方程，从而可证明分数次预解算子族在阶数不为1时均不能指数衰减。我们研究了分数次预解算子族关于时间和空间的离散逼近理论，并给出了不同的差分格式。我们证明了分数阶发展方程解在连续函数空间的极大正则性和相应的分数次预解算子族具半有界变差之间的等价关系。我们研究了Banach空间上一类抽象Cauchy问题以及Hilbert空间上一类随机抽象Cauchy问题的mild解的正则性。我们引入并系统研究了相应于抽象多项时间分数阶发展方程的适定性一类新的解算子族；通过引入一类新的Bernstein函数和构造相应的从属过程以及逆从属过程，我们给出了抽象多项时间分数阶发展方程的解在随机过程中的解释。我们给出了关于积分分数次预解算子族的最优衰减估计，并研究了积分分数次预解算子族的生成元之逆的生成问题。