最优传输问题与流体力学方程的概率研究

Optimal transportation problems and hydrodynamic equations are closely related objects and important topics in the current study of stochastic analysis and partial differential equations. They have very closed relations with probability theory, differential geometry, partial differential equations and fluid mechanics. The purpose of this program is to study the following problems: .1. entropy formula and rigidity theorems for heat equation on manifolds, .2. optimal transportation problems and Langevin deformation of flows on manifolds, .3. the longtime behavior of the hypoelliptic Fokker-Planck-Kramer equations on manifolds, .4. the probabilistic characterization of the incompressible Navier-Stokes equations, .5.the approximation and generalized solutions of the incompressible Navies-Stokes equations.

最优传输问题与流体力学方程是相互关联的研究对象，是国际上随机分析与偏微分方程研究中重要课题，与概率论、微分几何、偏微分方程、流体力学等学科中有密切的联系。我们将研究以下问题：流形上热方程的熵公式与刚性定理，流形上的最优传输问题与Langevin形变流，流形上亚椭圆Fokker-Planck-Kramer方程解的长时间渐近性质、不可压缩Navier-Stokes方程的概率刻画、不可压缩Navier-Stokes方程的逼近与广义解。

项目负责人与合作者在流形上的最优传输问题、Ricci曲率流与Witten Laplace算子的热方程的W-熵、Wasserstein空间上的Langevin流及随机矩阵的研究中取得一系列深刻的研究成果, 在国际上受到相关领域同行的关注与多次引用, 部分成果引发了国际同行的后续研究。在流体力学的概率研究中，我们利用无穷维保体积微分同胚群上的Bellman动态规划原理给出了流形上不可压缩Navier-Stokes方程新的随机刻画。..此外，在完成本项目所涉及的研究计划外，项目负责人还利用最优传输理论研究了黎曼流形上的熵幂不等式，并对信息通讯技术提出了非线性信道和非线性容量的研究思路，对Shannon极限能否突破这一通信技术领域的瓶颈问题的研究做出了初步的探索。..在项目执行期间，共完成14篇论文，其中6篇论文已发表在国际上有影响 的SCI杂志，1篇约稿论文发表在CSCI杂志，1篇论文已被SCI杂志接受发表，1篇会议论文发表在德国著名的Advances in Analysis and Geometry系列丛书的论文集，1篇文章的主要结果以“extended abstracts”的形式已被德国马克普朗克数学研究所出版的Oberwolfach Report接受发表；另有4篇论文已投稿。