流体力学方程组的适定性问题与极限问题

The research on hydrodynamic equations is always among the most important topics on the theory of partial differential equations. In this project, we study well-posedness problems and asymptotic limits, including large-time asymptotics and hydrodynamic limits, for compressible hydrodynamic equations. First, we study the low Mach number limit and related hydrodynamic limits of compressible hydrodynamic equations,e.g., Navier-Stokes equations and viscoelastic hydrodynamic equations. In particular, we are interested in the situations with solid boundary conditions. In the limit process, the solutions usually present singularities. Thus these problems are very interesting and challenging in Mathematical Physics. Next, we study the global existence and large-time stability for smooth solutions or strong solutions to free boundary problems for compressible hydrodynamic equations, e.g., shallow water equations and Navier-Stokes equations. To our best knowledge, there are few results on the well-posedness for smooth solutions or strong solutions of these kinds of problems. Thus we should utilize and develop new ideas and techniques to investigate these topics.

流体力学方程组的理论研究，一直以来都是偏微分方程理论的最重要课题之一。本项目将研究一些可压缩流体方程组的适定性问题和渐近极限问题, 后者包括大时间渐近极限问题和流体力学极限问题。首先，本项目要研究可压缩流体方程组（例如Navier-Stokes方程组、粘弹性流体方程组）的低马赫数极限和相关的流体力学极限问题，尤其是在物理固壁边界条件下的情形。在这些极限过程中，方程组的解会表现出奇异性，因而在数学物理上是很有意义且很有挑战性的课题。其次，我们将研究可压缩流体方程组（如浅水波方程组、Navier-Stokes方程组）的自由边值问题光滑解或强解的局部和整体存在性及其大时间渐近行为。此类问题目前关于光滑解或强解的结果较少，因此要研究这类问题必须利用、发展新的思想和方法。

本项目主要对流体力学方程组和相关的方程组进行定性理论研究，其中包括流体方程组的低马赫数极限问题和自由边值问题解的存在唯一性、大时间稳定性等方面。我们首先研究了有界区域中非等熵 Navier-Stokes方程组和磁流体方程组的局部解或整体解的低马赫数极限，严格验证了当马赫数很小的时候，可压缩流体方程组与不可压缩流体方程组的渐近关系。其次，我们证明了等熵Navier-Stokes方程组和磁流体方程组的真空自由边值问题的长时间强解的存在唯一性和大时间渐近行为，揭示了在重力和小初值的机制下，流体自由界面的运动和发展。最后，我们也考察了 Navier-Stokes-Poisson方程组和Poisson-Nernst-Planck方程组的适定性问题。这些研究结果对科学计算和物理应用提供了支持作用，也丰富了流体力学的数学理论。