最优传输问题与随机矩阵

The optimal transportation problem and random matrices are two important topics in the current research in probability theory and stochastic analysis, and have a close intereaction with PDEs, differential geometry, free probability theory, quantum field theory and statistical mechanics. We shall study the following problems: the optimal transportation problem on manifolds equipped with Ricci flow, the application of the optimal transportation theory in hydrodynamical equations, the optimal transportation problem on Heisenberg group, the Dyson Brownian motion associated with the beta ensemble with a general external potential, the Serlberg type central limit theorem for the characteristical polynomial of the general beta ensemble, the finite dimensional approximation of free stochastic partial differential equations, and the extension of the Tracy-Widom law to the beta ensemble with a general external potential. These are important and difficult problems in the study of the optimal transportation theory and random matrices. We will use and develop some new ideas, new methods and new techniques from stochastic analysis, PDEs, differential geometry, free probability theory, quantum field theory and statistical mechanics to study these problems.

最优传输问题与随机矩阵是当前国际概率论与随机分析研究中两个重要的研究方向，其研究与偏微分方程、微分几何、自由概率论、量子场论和统计力学密切相关。我们将研究以下问题：流形上的最优传输问题与Ricci曲率流、最优传输理论在流体力学方程中的应用、Heisenberg群上的最优传输问题、具有一般位势的Beta系综的Dyson Brown运动、关于一般Beta系综的特征多项式的Selberg型中心极限定理、自由随机微分方程的有限维逼近、并研究具有一般位势的Beta系综的Tracy-Widom律的推广形式。拟研究的问题是最优传输理论和随机矩阵研究中意义重大且技术难度大的问题。我们将使用并发展随机分析、偏微分方程、微分几何、自由概率论、量子场论和统计力学等学科中的一些新思想、新方法和新技术来研究这些问题。

项目负责人在2014年-2017年期间， 在国际概率论和综合数学类杂志上发表论文2篇，在线发表论文1篇，被接受发表论文2篇，并在arxiv上登载论文4篇。项目负责人在完备黎曼流形及超Ricci流上的W-熵与微分Harnack不等式、黎曼流形上的Wasserstein空间上测地流的W-熵及Langevin形变流的W-熵等问题的研究上取得了若干重要的研究成果。这些成果对于流形上的最优传输问题及随机微分几何的进一步深入研究将有重要的帮助。 在随机矩阵的研究中，项目负责人将随机分析与最优传输理论相结合发展了新的研究方法， 证明广义Dyson Brown运动的经验测度过程的大数定律与中心极限定理。