随机流与随机偏微分方程中若干问题研究

本项目拟研究一类非Lipschitz随机Hamiltonian系统以及一类具有Holder连续模漂移项的随机微分方程所定义的随机微分同胚流性质，特别地，希望能应用到一大类随机非线性弦方程以及随机迁移方程的研究。随后，我们将研究Banach空间上具有奇异核的随机Volterra型积分方程以及相应的小扰动下的大偏差原理，这一研究的目的是希望能对一大类随机偏微分方程建立一个统一的处理，这其中应能能包括分数次Brown运动所驱动的随机偏微分方程，带记忆的随机偏微分方程，随机反应扩散方程以及随机Navier-Stokes方程等。此外，我们也将研究一类具有多项式增长系数的随机偏微分方程解的正则性（沿着空间方向的光滑性）以及带跳的随机偏微分方程。最后，我们也将应用随机粒子轨道的方法研究Navier-Stokes方程以及多维Burgers方程。

本项目基本按照原计划进行，到目前为止我们已取得了以下阶段性成果：1、采用Crippa与DeLellis的简洁方法，我们推广了DiPerna－Lions关于具有Soblev系数常微分方程的适定性结果到随机微分方程的情形，并且研究了相应小扰动下的大偏差原理以及一个极限定理，我们也推广到带跳的情形。2、用相空间变换法, 我们证明了具有Sobolev漂移系数以及由Levy过程驱动的随机微分方程解的存在唯一性. 特别的我们允许漂移系数具有第一类跳跃间断点. 3、对于分式Navier-Stokes方程, 借用Constantin-Iyet的概率表示，我们用概率的方法明了局部解的存在唯一性, 同时在2维情形我们也得到了整体解的存在唯一性. 4、用Fefferman-Stein定理以及Fourier变换, 我们建立了非局部偏微分方程的L^p极大正则性理论.同时我们应用到临界多维Burgers方程的研究, 获得了光滑解的存在唯一性. 5、与王风雨合作获得了退化扩散过程的导数公式,进而证明了相应的Harnack不等式.此外我们也研究了分数次扩散算子在一阶扰动下的双边热核估计. 6、我们也用概率的方法研究了非局部积分偏微分方程解的存在唯一性. 同时获得了解的概率表示。7、我们研究了具有无界退化系数的随机偏微分方程解的适定性问题, 同时应用到非线性滤波中。8、我们研究了一般的随机Volterra积分方程以及各类随机偏微分方程解的存在唯一性以及在小扰动下的大偏差问题. 9、与董昭以及徐礼虎合作，我们研究了由\alpha稳定过程驱动的2维随机Burgers方程以及NS方程不变测度的存在唯一性问题。